Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neapmkv GIF version

Theorem neapmkv 13649
Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
neapmkv (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neapmkv
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6615 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
21adantl 275 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
3 oveq2 5832 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
43oveq2d 5840 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
5 fveq2 5468 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝑓𝑖) = (𝑓𝑗))
64, 5oveq12d 5842 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓𝑗)))
76cbvsumv 11258 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓𝑗))
82, 7trilpolemcl 13619 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
9 1red 7893 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10 simpl 108 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦))
11 neeq1 2340 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → (𝑥𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦))
12 breq1 3968 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → (𝑥 # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦))
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → ((𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦)))
14 neeq2 2341 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1))
15 breq2 3969 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
1614, 15imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → ((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1)))
1713, 16rspc2va 2830 . . . . . . 7 (((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
188, 9, 10, 17syl21anc 1219 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
1918imp 123 . . . . 5 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1)
202, 7, 19neapmkvlem 13648 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
2120ralrimiva 2530 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
22 nnex 8839 . . . 4 ℕ ∈ V
23 ismkvnn 13635 . . . 4 (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0)))
2422, 23ax-mp 5 . . 3 (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
2521, 24sylibr 133 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ℕ ∈ Markov)
26 nnenom 10333 . . 3 ℕ ≈ ω
27 enmkv 7105 . . 3 (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov)
2925, 28sylib 121 1 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327  wral 2435  wrex 2436  Vcvv 2712  {cpr 3561   class class class wbr 3965  ωcom 4549  wf 5166  cfv 5170  (class class class)co 5824  𝑚 cmap 6593  cen 6683  Markovcmarkov 7094  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   · cmul 7737   # cap 8456   / cdiv 8545  cn 8833  2c2 8884  cexp 10418  Σcsu 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-er 6480  df-map 6595  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-omni 7078  df-markov 7095  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-ico 9798  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator