Theorem neapmkv 13579

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6604	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
2	1	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
3		oveq2 5822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
4	3	oveq2d 5830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
5		fveq2 5461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑗))
6	4, 5	oveq12d 5832	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓‘𝑗)))
7	6	cbvsumv 11235	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓‘𝑗))
8	2, 7	trilpolemcl 13549	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ∈ ℝ)
9		1red 7872	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
11		neeq1 2337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦))
12		breq1 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → (𝑥 # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦))
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦)))
14		neeq2 2338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1))
15		breq2 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → ((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1)))
17	13, 16	rspc2va 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1216	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
19	18	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1)
20	2, 7, 19	neapmkvlem 13578	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
21	20	ralrimiva 2527	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
22		nnex 8818	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
23		ismkvnn 13565	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0)))
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
25	21, 24	sylibr 133	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ℕ ∈ Markov)
26		nnenom 10311	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
27		enmkv 7084	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov)
29	25, 28	sylib 121	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  ∀wral 2432  ∃wrex 2433  Vcvv 2709  {cpr 3557   class class class wbr 3961  ωcom 4543  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ↑_𝑚 cmap 6582   ≈ cen 6672  Markovcmarkov 7073  ℝcr 7710  0cc0 7711  1c1 7712   · cmul 7716   # cap 8435   / cdiv 8524  ℕcn 8812  2c2 8863  ↑cexp 10396  Σcsu 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-er 6469  df-map 6584  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-omni 7057  df-markov 7074  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-ico 9776  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228

This theorem is referenced by: (None)