Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neapmkv GIF version

Theorem neapmkv 14099
Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
neapmkv (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neapmkv
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6648 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
21adantl 275 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
3 oveq2 5861 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
43oveq2d 5869 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
5 fveq2 5496 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝑓𝑖) = (𝑓𝑗))
64, 5oveq12d 5871 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓𝑗)))
76cbvsumv 11324 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓𝑗))
82, 7trilpolemcl 14069 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
9 1red 7935 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10 simpl 108 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦))
11 neeq1 2353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → (𝑥𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦))
12 breq1 3992 . . . . . . . . 9 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → (𝑥 # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦))
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) → ((𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦)))
14 neeq2 2354 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1))
15 breq2 3993 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
1614, 15imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = 1 → ((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1)))
1713, 16rspc2va 2848 . . . . . . 7 (((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
188, 9, 10, 17syl21anc 1232 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1))
1918imp 123 . . . . 5 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓𝑖)) # 1)
202, 7, 19neapmkvlem 14098 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
2120ralrimiva 2543 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
22 nnex 8884 . . . 4 ℕ ∈ V
23 ismkvnn 14085 . . . 4 (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0)))
2422, 23ax-mp 5 . . 3 (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓𝑧) = 0))
2521, 24sylibr 133 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ℕ ∈ Markov)
26 nnenom 10390 . . 3 ℕ ≈ ω
27 enmkv 7138 . . 3 (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov)
2925, 28sylib 121 1 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥𝑦𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  wral 2448  wrex 2449  Vcvv 2730  {cpr 3584   class class class wbr 3989  ωcom 4574  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  𝑚 cmap 6626  cen 6716  Markovcmarkov 7127  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  cn 8878  2c2 8929  cexp 10475  Σcsu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-omni 7111  df-markov 7128  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator