Theorem neapmkv 17023

Description: If negated equality for real numbers implies apartness, Markov's Principle follows. Exercise 11.10 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
neapmkv	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem neapmkv

Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6934	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 𝑓:ℕ⟶{0, 1})
3		oveq2 6083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (2↑𝑖) = (2↑𝑗))
4	3	oveq2d 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (1 / (2↑𝑖)) = (1 / (2↑𝑗)))
5		fveq2 5690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑓‘𝑖) = (𝑓‘𝑗))
6	4, 5	oveq12d 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) = ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓‘𝑗)))
7	6	cbvsumv 12105	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) = Σ𝑗 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑗)) · (𝑓‘𝑗))
8	2, 7	trilpolemcl 16991	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ∈ ℝ)
9		1red 8331	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦))
11		neeq1 2433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦))
12		breq1 4128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → (𝑥 # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦))
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦)))
14		neeq2 2434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1))
15		breq2 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦 ↔ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
16	14, 15	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → ((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 𝑦) ↔ (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1)))
17	13, 16	rspc2va 2944	. . . . . . 7 ⊢ (((Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
18	8, 9, 10, 17	syl21anc 1277	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1))
19	18	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) ∧ Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝑓‘𝑖)) # 1)
20	2, 7, 19	neapmkvlem 17022	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)) → (¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
21	20	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
22		nnex 9289	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
23		ismkvnn 17008	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0)))
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℕ ∈ Markov ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ)(¬ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 1 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑓‘𝑧) = 0))
25	21, 24	sylibr 134	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ℕ ∈ Markov)
26		nnenom 10849	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
27		enmkv 7492	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ω → (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℕ ∈ Markov ↔ ω ∈ Markov)
29	25, 28	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 # 𝑦) → ω ∈ Markov)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  {cpr 3706   class class class wbr 4125  ωcom 4732  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ↑_𝑚 cmap 6912   ≈ cen 7010  Markovcmarkov 7481  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ↑cexp 10953  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-omni 7465  df-markov 7482  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by: (None)