ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnepnf GIF version

Theorem xrnepnf 9780
Description: An extended real other than plus infinity is real or negative infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrnepnf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem xrnepnf
StepHypRef Expression
1 pm5.61 794 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
2 elxr 9778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3 df-3or 979 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4 or32 770 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
52, 3, 43bitri 206 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6 df-ne 2348 . . 3 (𝐴 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐴 = +∞)
75, 6anbi12i 460 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
8 renepnf 8007 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
9 mnfnepnf 8015 . . . . . 6 -∞ ≠ +∞
10 neeq1 2360 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
119, 10mpbiri 168 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
128, 11jaoi 716 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
1312neneqd 2368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
1413pm4.71i 391 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
151, 7, 143bitr4i 212 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  wo 708  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  cr 7812  +∞cpnf 7991  -∞cmnf 7992  *cxr 7993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998
This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9860
  Copyright terms: Public domain W3C validator