Theorem xrnepnf 9899

Description: An extended real other than plus infinity is real or negative infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrnepnf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem xrnepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.61 795	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
2		elxr 9897	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3		df-3or 981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞))
4		or32 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
5	2, 3, 4	3bitri 206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞))
6		df-ne 2376	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ +∞ ↔ ¬ 𝐴 = +∞)
7	5, 6	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 = +∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
8		renepnf 8119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
9		mnfnepnf 8127	. . . . . 6 ⊢ -∞ ≠ +∞
10		neeq1 2388	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
12	8, 11	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
13	12	neneqd 2396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 = +∞)
14	13	pm4.71i 391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞))
15	1, 7, 14	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ℝcr 7923  +∞cpnf 8103  -∞cmnf 8104  ℝ^*cxr 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110

This theorem is referenced by:  xaddnepnf  9979