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Theorem xleaddadd 9696
Description: Cancelling a factor of two in (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xleaddadd ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xleaddadd
StepHypRef Expression
1 recn 7773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
322timesd 8982 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4 recn 7773 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54ad2antlr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
652timesd 8982 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
73, 6breq12d 3946 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
8 simpr 109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simplr 520 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 2re 8810 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 9 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 8831 . . . . . 6 0 < 2
1312a1i 9 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 2)
14 lemul2 8635 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
158, 9, 11, 13, 14syl112anc 1221 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
168, 8rexaddd 9663 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
179, 9rexaddd 9663 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
1816, 17breq12d 3946 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
197, 15, 183bitr4d 219 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
20 renepnf 7833 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
2120neneqd 2330 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → ¬ 𝐵 = +∞)
2221ad2antlr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
23 xgepnf 9625 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐵𝐵 = +∞))
2423ad3antlr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵𝐵 = +∞))
2522, 24mtbird 663 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
26 breq1 3936 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
2726adantl 275 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
2825, 27mtbird 663 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴𝐵)
29 simplr 520 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029, 29rexaddd 9663 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3129, 29readdcld 7815 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrd 2217 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
33 renepnf 7833 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3433neneqd 2330 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
3532, 34syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
36 simpllr 524 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3736, 36xaddcld 9693 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
38 xgepnf 9625 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
3937, 38syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
4035, 39mtbird 663 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
41 simpr 109 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
4241, 41oveq12d 5796 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 +∞))
43 pnfxr 7838 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
44 pnfnemnf 7840 . . . . . . . 8 +∞ ≠ -∞
45 xaddpnf2 9656 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
4643, 44, 45mp2an 423 . . . . . . 7 (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
4742, 46eqtrdi 2189 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = +∞)
4847breq1d 3943 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
4940, 48mtbird 663 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
5028, 492falsed 692 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
51 mnfle 9604 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
5251ad3antlr 485 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
53 breq1 3936 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
5453adantl 275 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
5552, 54mpbird 166 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
56 oveq1 5785 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
5756adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
58 simplll 523 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59 mnfnepnf 7841 . . . . . . . . 9 -∞ ≠ +∞
60 neeq1 2322 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
6159, 60mpbiri 167 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
6261adantl 275 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
63 xaddmnf2 9658 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
6458, 62, 63syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
6557, 64eqtrd 2173 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
66 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6766, 66xaddcld 9693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
6867ad2antrr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
69 mnfle 9604 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7068, 69syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7165, 70eqbrtrd 3954 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7255, 712thd 174 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
73 elxr 9589 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7473biimpi 119 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7574ad2antrr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7619, 50, 72, 75mpjao3dan 1286 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
77 pnfge 9601 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
7877ad2antrr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
79 breq2 3937 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐴𝐵𝐴 ≤ +∞))
8079adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ +∞))
8178, 80mpbird 166 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
82 simpll 519 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8382, 82xaddcld 9693 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
84 pnfge 9601 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
8583, 84syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
86 oveq1 5785 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
87 eleq1 2203 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
8843, 87mpbiri 167 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
89 neeq1 2322 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
9044, 89mpbiri 167 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ -∞)
91 xaddpnf2 9656 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 409 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
9386, 92eqtrd 2173 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
9493adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
9585, 94breqtrrd 3960 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
9681, 952thd 174 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
97 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9897renemnfd 7837 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
9998neneqd 2330 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 = -∞)
100 ngtmnft 9626 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
101 mnfxr 7842 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
102 xrlenlt 7849 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
103101, 102mpan2 422 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
104100, 103bitr4d 190 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
105104ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
106 breq2 3937 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴𝐵𝐴 ≤ -∞))
107106adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ -∞))
108105, 107bitr4d 190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
109108adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
11099, 109mtbid 662 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴𝐵)
11197, 97rexaddd 9663 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11297, 97readdcld 7815 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℝ)
113111, 112eqeltrd 2217 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ)
114113renemnfd 7837 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
115114neneqd 2330 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
116 simpll 519 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
117116, 116xaddcld 9693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
118 xrlenlt 7849 . . . . . . . . 9 (((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
119101, 118mpan2 422 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
120117, 119syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
121 oveq2 5786 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
122 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
123101, 122mpbiri 167 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
12490necon2i 2365 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ +∞)
125 xaddmnf1 9657 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
126123, 124, 125syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
127121, 126eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
128127adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
129128breq2d 3945 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞))
130 ngtmnft 9626 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
131117, 130syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
132120, 129, 1313bitr4rd 220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
133132adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
134115, 133mtbid 662 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
135110, 1342falsed 692 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
13644neii 2311 . . . . . 6 ¬ +∞ = -∞
137 eqeq1 2147 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
138137adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
139136, 138mtbiri 665 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
140108adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
141139, 140mtbid 662 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴𝐵)
142 simplll 523 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
143139neqned 2316 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
144 xaddnemnf 9666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
145142, 143, 142, 143, 144syl22anc 1218 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
146145neneqd 2330 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
147132adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
148146, 147mtbid 662 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
149141, 1482falsed 692 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
150108biimpa 294 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
151 simplll 523 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
152151, 151xaddcld 9693 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
153152xrleidd 9613 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐴))
154 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
155 simplr 520 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 = -∞)
156154, 155eqtr4d 2176 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
157156, 156oveq12d 5796 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 𝐵))
158153, 157breqtrd 3958 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
159150, 1582thd 174 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
16074ad2antrr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
161135, 149, 159, 160mpjao3dan 1286 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
162 elxr 9589 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
163162biimpi 119 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
164163adantl 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
16576, 96, 161, 164mpjao3dan 1286 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  cc 7638  cr 7639  0cc0 7640   + caddc 7643   · cmul 7645  +∞cpnf 7817  -∞cmnf 7818  *cxr 7819   < clt 7820  cle 7821  2c2 8791   +𝑒 cxad 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-2 8799  df-xadd 9586
This theorem is referenced by:  psmetge0  12530  xmetge0  12564
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