Theorem xleaddadd 10046

Description: Cancelling a factor of two in ≤ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	2timesd 9317	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4		recn 8095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	2timesd 9317	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
7	3, 6	breq12d 4073	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simplr 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		2re 9143	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
12		2pos 9164	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 2)
14		lemul2 8967	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1254	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
16	8, 8	rexaddd 10013	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
17	9, 9	rexaddd 10013	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
18	16, 17	breq12d 4073	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
20		renepnf 8157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
21	20	neneqd 2399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ¬ 𝐵 = +∞)
22	21	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
23		xgepnf 9975	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 = +∞))
24	23	ad3antlr 493	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 = +∞))
25	22, 24	mtbird 675	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
26		breq1 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
27	26	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
28	25, 27	mtbird 675	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
29		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 29	rexaddd 10013	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
31	29, 29	readdcld 8139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
33		renepnf 8157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
34	33	neneqd 2399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
36		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37	36, 36	xaddcld 10043	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
38		xgepnf 9975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
40	35, 39	mtbird 675	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
41		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
42	41, 41	oveq12d 5987	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 +∞))
43		pnfxr 8162	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
44		pnfnemnf 8164	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ≠ -∞
45		xaddpnf2 10006	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
46	43, 44, 45	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
47	42, 46	eqtrdi 2256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = +∞)
48	47	breq1d 4070	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
49	40, 48	mtbird 675	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
50	28, 49	2falsed 704	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
51		mnfle 9951	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
52	51	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
53		breq1 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
54	53	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
56		oveq1 5976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
57	56	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
58		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59		mnfnepnf 8165	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ≠ +∞
60		neeq1 2391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
63		xaddmnf2 10008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
64	58, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
65	57, 64	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
66		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
67	66, 66	xaddcld 10043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
69		mnfle 9951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
71	65, 70	eqbrtrd 4082	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
72	55, 71	2thd 175	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
73		elxr 9935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1320	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
77		pnfge 9948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
78	77	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
79		breq2 4064	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ +∞))
80	79	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ +∞))
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
83	82, 82	xaddcld 10043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
84		pnfge 9948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
85	83, 84	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
86		oveq1 5976	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
87		eleq1 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
89		neeq1 2391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ -∞)
91		xaddpnf2 10006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
92	88, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
93	86, 92	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
94	93	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
95	85, 94	breqtrrd 4088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
96	81, 95	2thd 175	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
97		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
98	97	renemnfd 8161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
99	98	neneqd 2399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 = -∞)
100		ngtmnft 9976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
101		mnfxr 8166	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
102		xrlenlt 8174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
103	101, 102	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
106		breq2 4064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ -∞))
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ -∞))
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
109	108	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
110	99, 109	mtbid 674	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
111	97, 97	rexaddd 10013	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
112	97, 97	readdcld 8139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℝ)
113	111, 112	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ)
114	113	renemnfd 8161	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
115	114	neneqd 2399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
116		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
117	116, 116	xaddcld 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
118		xrlenlt 8174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
119	101, 118	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
121		oveq2 5977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
122		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
124	90	necon2i 2434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ +∞)
125		xaddmnf1 10007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
126	123, 124, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
127	121, 126	eqtrd 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
129	128	breq2d 4072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞))
130		ngtmnft 9976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
133	132	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
134	115, 133	mtbid 674	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
135	110, 134	2falsed 704	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
136	44	neii 2380	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ = -∞
137		eqeq1 2214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
138	137	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
139	136, 138	mtbiri 677	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
140	108	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
141	139, 140	mtbid 674	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
142		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
143	139	neqned 2385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
144		xaddnemnf 10016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
146	145	neneqd 2399	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
147	132	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
148	146, 147	mtbid 674	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
149	141, 148	2falsed 704	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
150	108	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
151		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
152	151, 151	xaddcld 10043	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
153	152	xrleidd 9960	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐴))
154		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
155		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 = -∞)
156	154, 155	eqtr4d 2243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
157	156, 156	oveq12d 5987	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 𝐵))
158	153, 157	breqtrd 4086	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
159	150, 158	2thd 175	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
160	74	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1320	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
162		elxr 9935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
163	162	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
164	163	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1320	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378   class class class wbr 4060  (class class class)co 5969  ℂcc 7960  ℝcr 7961  0cc0 7962   + caddc 7965   · cmul 7967  +∞cpnf 8141  -∞cmnf 8142  ℝ^*cxr 8143   < clt 8144   ≤ cle 8145  2c2 9124   +_𝑒 cxad 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-2 9132  df-xadd 9932

This theorem is referenced by:  psmetge0  14964  xmetge0  14998