ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleaddadd GIF version

Theorem xleaddadd 9919
Description: Cancelling a factor of two in (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xleaddadd ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xleaddadd
StepHypRef Expression
1 recn 7975 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
322timesd 9192 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4 recn 7975 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54ad2antlr 489 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
652timesd 9192 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
73, 6breq12d 4031 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
8 simpr 110 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simplr 528 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 2re 9020 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1110a1i 9 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 9041 . . . . . 6 0 < 2
1312a1i 9 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 2)
14 lemul2 8845 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
158, 9, 11, 13, 14syl112anc 1253 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
168, 8rexaddd 9886 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
179, 9rexaddd 9886 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
1816, 17breq12d 4031 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
197, 15, 183bitr4d 220 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
20 renepnf 8036 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
2120neneqd 2381 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → ¬ 𝐵 = +∞)
2221ad2antlr 489 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
23 xgepnf 9848 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐵𝐵 = +∞))
2423ad3antlr 493 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵𝐵 = +∞))
2522, 24mtbird 674 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
26 breq1 4021 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
2726adantl 277 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
2825, 27mtbird 674 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴𝐵)
29 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029, 29rexaddd 9886 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3129, 29readdcld 8018 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrd 2266 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
33 renepnf 8036 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3433neneqd 2381 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
3532, 34syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
36 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3736, 36xaddcld 9916 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
38 xgepnf 9848 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
3937, 38syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
4035, 39mtbird 674 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
41 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
4241, 41oveq12d 5915 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 +∞))
43 pnfxr 8041 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
44 pnfnemnf 8043 . . . . . . . 8 +∞ ≠ -∞
45 xaddpnf2 9879 . . . . . . . 8 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
4643, 44, 45mp2an 426 . . . . . . 7 (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
4742, 46eqtrdi 2238 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = +∞)
4847breq1d 4028 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
4940, 48mtbird 674 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
5028, 492falsed 703 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
51 mnfle 9824 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
5251ad3antlr 493 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
53 breq1 4021 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
5453adantl 277 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
5552, 54mpbird 167 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
56 oveq1 5904 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
5756adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
58 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59 mnfnepnf 8044 . . . . . . . . 9 -∞ ≠ +∞
60 neeq1 2373 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
6159, 60mpbiri 168 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
6261adantl 277 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
63 xaddmnf2 9881 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
6458, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
6557, 64eqtrd 2222 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
66 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6766, 66xaddcld 9916 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
6867ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
69 mnfle 9824 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7068, 69syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7165, 70eqbrtrd 4040 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
7255, 712thd 175 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
73 elxr 9808 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7473biimpi 120 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7574ad2antrr 488 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7619, 50, 72, 75mpjao3dan 1318 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
77 pnfge 9821 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
7877ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
79 breq2 4022 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐴𝐵𝐴 ≤ +∞))
8079adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ +∞))
8178, 80mpbird 167 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
82 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8382, 82xaddcld 9916 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
84 pnfge 9821 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
8583, 84syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
86 oveq1 5904 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
87 eleq1 2252 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
8843, 87mpbiri 168 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
89 neeq1 2373 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
9044, 89mpbiri 168 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ -∞)
91 xaddpnf2 9879 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 411 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
9386, 92eqtrd 2222 . . . . 5 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
9493adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
9585, 94breqtrrd 4046 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
9681, 952thd 175 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
97 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9897renemnfd 8040 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
9998neneqd 2381 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 = -∞)
100 ngtmnft 9849 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
101 mnfxr 8045 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
102 xrlenlt 8053 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
103101, 102mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
104100, 103bitr4d 191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
105104ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
106 breq2 4022 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴𝐵𝐴 ≤ -∞))
107106adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ -∞))
108105, 107bitr4d 191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
109108adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
11099, 109mtbid 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴𝐵)
11197, 97rexaddd 9886 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
11297, 97readdcld 8018 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℝ)
113111, 112eqeltrd 2266 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ)
114113renemnfd 8040 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
115114neneqd 2381 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
116 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
117116, 116xaddcld 9916 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
118 xrlenlt 8053 . . . . . . . . 9 (((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
119101, 118mpan2 425 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
120117, 119syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
121 oveq2 5905 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
122 eleq1 2252 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
123101, 122mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
12490necon2i 2416 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ +∞)
125 xaddmnf1 9880 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
126123, 124, 125syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
127121, 126eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
128127adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
129128breq2d 4030 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞))
130 ngtmnft 9849 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
131117, 130syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
132120, 129, 1313bitr4rd 221 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
133132adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
134115, 133mtbid 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
135110, 1342falsed 703 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
13644neii 2362 . . . . . 6 ¬ +∞ = -∞
137 eqeq1 2196 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
138137adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
139136, 138mtbiri 676 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
140108adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴𝐵))
141139, 140mtbid 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴𝐵)
142 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
143139neqned 2367 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
144 xaddnemnf 9889 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
145142, 143, 142, 143, 144syl22anc 1250 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
146145neneqd 2381 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
147132adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
148146, 147mtbid 673 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
149141, 1482falsed 703 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
150108biimpa 296 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
151 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
152151, 151xaddcld 9916 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
153152xrleidd 9833 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐴))
154 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
155 simplr 528 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 = -∞)
156154, 155eqtr4d 2225 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
157156, 156oveq12d 5915 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 𝐵))
158153, 157breqtrd 4044 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
159150, 1582thd 175 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
16074ad2antrr 488 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
161135, 149, 159, 160mpjao3dan 1318 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
162 elxr 9808 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
163162biimpi 120 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
164163adantl 277 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
16576, 96, 161, 164mpjao3dan 1318 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842   + caddc 7845   · cmul 7847  +∞cpnf 8020  -∞cmnf 8021  *cxr 8022   < clt 8023  cle 8024  2c2 9001   +𝑒 cxad 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805
This theorem is referenced by:  psmetge0  14308  xmetge0  14342
  Copyright terms: Public domain W3C validator