Theorem xleaddadd 9844

Description: Cancelling a factor of two in ≤ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	2timesd 9120	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4		recn 7907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	2timesd 9120	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
7	3, 6	breq12d 4002	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
8		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simplr 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		2re 8948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℝ)
12		2pos 8969	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 2)
14		lemul2 8773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1237	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
16	8, 8	rexaddd 9811	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
17	9, 9	rexaddd 9811	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
18	16, 17	breq12d 4002	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐴) ≤ (𝐵 + 𝐵)))
19	7, 15, 18	3bitr4d 219	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
20		renepnf 7967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
21	20	neneqd 2361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ¬ 𝐵 = +∞)
22	21	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
23		xgepnf 9773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 = +∞))
24	23	ad3antlr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 = +∞))
25	22, 24	mtbird 668	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ 𝐵)
26		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
27	26	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ 𝐵))
28	25, 27	mtbird 668	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
29		simplr 525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 29	rexaddd 9811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
31	29, 29	readdcld 7949	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
33		renepnf 7967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
34	33	neneqd 2361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
36		simpllr 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37	36, 36	xaddcld 9841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
38		xgepnf 9773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞))
40	35, 39	mtbird 668	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
41		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
42	41, 41	oveq12d 5871	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (+∞ +𝑒 +∞))
43		pnfxr 7972	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
44		pnfnemnf 7974	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ≠ -∞
45		xaddpnf2 9804	. . . . . . . 8 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 +∞) = +∞)
46	43, 44, 45	mp2an 424	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ +𝑒 +∞) = +∞
47	42, 46	eqtrdi 2219	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = +∞)
48	47	breq1d 3999	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ +∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
49	40, 48	mtbird 668	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
50	28, 49	2falsed 697	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
51		mnfle 9749	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
52	51	ad3antlr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
53		breq1 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
54	53	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -∞ ≤ 𝐵))
55	52, 54	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
56		oveq1 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
57	56	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (-∞ +𝑒 𝐴))
58		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
59		mnfnepnf 7975	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ≠ +∞
60		neeq1 2353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ≠ +∞ ↔ -∞ ≠ +∞))
61	59, 60	mpbiri 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ +∞)
62	61	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
63		xaddmnf2 9806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
64	58, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 𝐴) = -∞)
65	57, 64	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
66		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
67	66, 66	xaddcld 9841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
68	67	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
69		mnfle 9749	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
71	65, 70	eqbrtrd 4011	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
72	55, 71	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
73		elxr 9733	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	ad2antrr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1302	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
77		pnfge 9746	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
78	77	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
79		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ +∞))
80	79	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ +∞))
81	78, 80	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
82		simpll 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
83	82, 82	xaddcld 9841	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
84		pnfge 9746	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
85	83, 84	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ +∞)
86		oveq1 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
87		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ +∞ ∈ ℝ*))
88	43, 87	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
89		neeq1 2353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
90	44, 89	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ -∞)
91		xaddpnf2 9804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
92	88, 90, 91	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
93	86, 92	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
94	93	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = +∞)
95	85, 94	breqtrrd 4017	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
96	81, 95	2thd 174	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
97		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
98	97	renemnfd 7971	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
99	98	neneqd 2361	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 = -∞)
100		ngtmnft 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
101		mnfxr 7976	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
102		xrlenlt 7984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
103	101, 102	mpan2 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
104	100, 103	bitr4d 190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
105	104	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ -∞))
106		breq2 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ -∞))
107	106	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ -∞))
108	105, 107	bitr4d 190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
109	108	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
110	99, 109	mtbid 667	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
111	97, 97	rexaddd 9811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
112	97, 97	readdcld 7949	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℝ)
113	111, 112	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ)
114	113	renemnfd 7971	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
115	114	neneqd 2361	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
116		simpll 524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
117	116, 116	xaddcld 9841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
118		xrlenlt 7984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
119	101, 118	mpan2 423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
121		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -∞))
122		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ -∞ ∈ ℝ*))
123	101, 122	mpbiri 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ*)
124	90	necon2i 2396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ +∞)
125		xaddmnf1 9805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
126	123, 124, 125	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 -∞) = -∞)
127	121, 126	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
128	127	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 +𝑒 𝐵) = -∞)
129	128	breq2d 4001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵) ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ -∞))
130		ngtmnft 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐴 +𝑒 𝐴)))
132	120, 129, 131	3bitr4rd 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
133	132	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
134	115, 133	mtbid 667	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
135	110, 134	2falsed 697	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
136	44	neii 2342	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ = -∞
137		eqeq1 2177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
138	137	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
139	136, 138	mtbiri 670	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
140	108	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 = -∞ ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
141	139, 140	mtbid 667	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
142		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
143	139	neqned 2347	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
144		xaddnemnf 9814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≠ -∞)
146	145	neneqd 2361	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞)
147	132	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐴) = -∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
148	146, 147	mtbid 667	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
149	141, 148	2falsed 697	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
150	108	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
151		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
152	151, 151	xaddcld 9841	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ∈ ℝ*)
153	152	xrleidd 9758	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐴))
154		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
155		simplr 525	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 = -∞)
156	154, 155	eqtr4d 2206	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = 𝐵)
157	156, 156	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) = (𝐵 +𝑒 𝐵))
158	153, 157	breqtrd 4015	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵))
159	150, 158	2thd 174	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
160	74	ad2antrr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1302	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))
162		elxr 9733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
163	162	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
164	163	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1302	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779  +∞cpnf 7951  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  2c2 8929   +_𝑒 cxad 9727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-2 8937  df-xadd 9730

This theorem is referenced by:  psmetge0  13125  xmetge0  13159