Theorem ngtmnft 9892

Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ngtmnft	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 8075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2388	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4		mnflt 9858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5		notnot 630	. . . . 5 ⊢ (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
7	3, 6	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8		pnfnemnf 8081	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2380	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	10	neneqd 2388	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12		mnfltpnf 9860	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < +∞
13		breq2 4037	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
15	14	necon3bi 2417	. . . . 5 ⊢ (¬ -∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ +∞)
16	15	necon2bi 2422	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
17	11, 16	2falsed 703	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19		mnfxr 8083	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		xrltnr 9854	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ < -∞
22		breq2 4037	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
23	21, 22	mtbiri 676	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
24	18, 23	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
25	7, 17, 24	3jaoi 1314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4033  ℝcr 7878  +∞cpnf 8058  -∞cmnf 8059  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  nmnfgt  9893  ge0nemnf  9899  xleaddadd  9962