Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ngtmnft GIF version

Theorem ngtmnft 9612
 Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 elxr 9575 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renemnf 7826 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
32neneqd 2329 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4 mnflt 9581 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5 notnot 618 . . . . 5 (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
73, 62falsed 691 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8 pnfnemnf 7832 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 2321 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 167 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
1110neneqd 2329 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12 mnfltpnf 9583 . . . . . . 7 -∞ < +∞
13 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
1412, 13mpbiri 167 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
1514necon3bi 2358 . . . . 5 (¬ -∞ < 𝐴𝐴 ≠ +∞)
1615necon2bi 2363 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
1711, 162falsed 691 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19 mnfxr 7834 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
20 xrltnr 9578 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 ¬ -∞ < -∞
22 breq2 3933 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
2321, 22mtbiri 664 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
2418, 232thd 174 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
257, 17, 243jaoi 1281 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
261, 25sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3929  ℝcr 7631  +∞cpnf 7809  -∞cmnf 7810  ℝ*cxr 7811   < clt 7812 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817 This theorem is referenced by:  nmnfgt  9613  ge0nemnf  9619  xleaddadd  9682
 Copyright terms: Public domain W3C validator