ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ngtmnft GIF version

Theorem ngtmnft 9791
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 elxr 9750 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renemnf 7983 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
32neneqd 2368 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4 mnflt 9757 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5 notnot 629 . . . . 5 (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
73, 62falsed 702 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8 pnfnemnf 7989 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 2360 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 168 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
1110neneqd 2368 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12 mnfltpnf 9759 . . . . . . 7 -∞ < +∞
13 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
1412, 13mpbiri 168 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
1514necon3bi 2397 . . . . 5 (¬ -∞ < 𝐴𝐴 ≠ +∞)
1615necon2bi 2402 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
1711, 162falsed 702 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19 mnfxr 7991 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
20 xrltnr 9753 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 ¬ -∞ < -∞
22 breq2 4004 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
2321, 22mtbiri 675 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
2418, 232thd 175 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
257, 17, 243jaoi 1303 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
261, 25sylbi 121 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cr 7788  +∞cpnf 7966  -∞cmnf 7967  *cxr 7968   < clt 7969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974
This theorem is referenced by:  nmnfgt  9792  ge0nemnf  9798  xleaddadd  9861
  Copyright terms: Public domain W3C validator