Theorem ngtmnft 9486

Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ngtmnft	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 7731	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4		mnflt 9455	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5		notnot 601	. . . . 5 ⊢ (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
7	3, 6	2falsed 674	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8		pnfnemnf 7737	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2293	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	10	neneqd 2301	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12		mnfltpnf 9457	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < +∞
13		breq2 3897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
14	12, 13	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
15	14	necon3bi 2330	. . . . 5 ⊢ (¬ -∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ +∞)
16	15	necon2bi 2335	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
17	11, 16	2falsed 674	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19		mnfxr 7739	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		xrltnr 9452	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ < -∞
22		breq2 3897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
23	21, 22	mtbiri 647	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
24	18, 23	2thd 174	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
25	7, 17, 24	3jaoi 1262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
26	1, 25	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ w3o 942   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ≠ wne 2280   class class class wbr 3893  ℝcr 7539  +∞cpnf 7714  -∞cmnf 7715  ℝ^*cxr 7716   < clt 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-pre-ltirr 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722

This theorem is referenced by:  nmnfgt  9487  ge0nemnf  9493  xleaddadd  9556