Theorem ngtmnft 9952

Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ngtmnft	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 8134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2398	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4		mnflt 9918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5		notnot 630	. . . . 5 ⊢ (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
7	3, 6	2falsed 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8		pnfnemnf 8140	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
9		neeq1 2390	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
10	8, 9	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
11	10	neneqd 2398	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12		mnfltpnf 9920	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < +∞
13		breq2 4052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
14	12, 13	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
15	14	necon3bi 2427	. . . . 5 ⊢ (¬ -∞ < 𝐴 → 𝐴 ≠ +∞)
16	15	necon2bi 2432	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
17	11, 16	2falsed 704	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19		mnfxr 8142	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		xrltnr 9914	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ < -∞
22		breq2 4052	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
23	21, 22	mtbiri 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
24	18, 23	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
25	7, 17, 24	3jaoi 1316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
26	1, 25	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4048  ℝcr 7937  +∞cpnf 8117  -∞cmnf 8118  ℝ^*cxr 8119   < clt 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-pre-ltirr 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-xp 4686  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125

This theorem is referenced by:  nmnfgt  9953  ge0nemnf  9959  xleaddadd  10022