Theorem nndceq 6766

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where 𝐵 is zero, see nndceq0 4763. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		elirr 4686	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	2, 3	mtbii 685	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	con2i 636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		orc 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
8		elirr 4686	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
9		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
10	8, 9	mtbiri 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10	con2i 636	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	6, 7, 12	3jaoi 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14	1, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
15		df-dc 847	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ωcom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6774  fidceq  7165  fidcen  7197  unsnfidcex  7221  unsnfidcel  7222  2omap  7312  nninfwlporlemd  7506  nninfwlporlem  7507  nninfwlpoimlemg  7509  nninfwlpoimlemginf  7510  2onetap  7615  2omotaplemap  7617  enqdc  7722  nninfctlemfo  12800  xpscf  13651  nninfsellemdc  17027