Theorem nndceq 6776

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where 𝐵 is zero, see nndceq0 4767. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		elirr 4690	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	2, 3	mtbii 685	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	con2i 636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		orc 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
8		elirr 4690	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
9		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
10	8, 9	mtbiri 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10	con2i 636	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	olcd 746	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	6, 7, 12	3jaoi 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14	1, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
15		df-dc 847	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ωcom 4739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4232  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740

This theorem is used by:  nndifsnid  6784  fidceq  7176  fidcen  7208  unsnfidcex  7232  unsnfidcel  7233  2omap  7325  nninfwlporlemd  7519  nninfwlporlem  7520  nninfwlpoimlemg  7522  nninfwlpoimlemginf  7523  2onetap  7628  2omotaplemap  7630  enqdc  7735  nninfctlemfo  12843  xpscf  13728  nninfsellemdc  17271