Theorem nndceq 6467

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where 𝐵 is zero, see nndceq0 4595. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		elirr 4518	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		eleq2 2230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	2, 3	mtbii 664	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
5	4	con2i 617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	olcd 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7		orc 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
8		elirr 4518	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
9		eleq2 2230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐵))
10	8, 9	mtbiri 665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10	con2i 617	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
12	11	olcd 724	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
13	6, 7, 12	3jaoi 1293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
14	1, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
15		df-dc 825	. 2 ⊢ (DECID 𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 = 𝐵))
16	14, 15	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ωcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6475  fidceq  6835  unsnfidcex  6885  unsnfidcel  6886  enqdc  7302  nninfsellemdc  13900