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Theorem fientri3 6732
Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fientri3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fientri3
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6585 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 272 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6585 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 119 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad2antlr 476 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 506 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
87adantr 272 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑛)
9 simpr 109 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
10 simplrl 505 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
1110adantr 272 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12 simplrl 505 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13 nndomo 6687 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1411, 12, 13syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
159, 14mpbird 166 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
16 endomtr 6614 . . . . . . 7 ((𝐴𝑛𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
178, 15, 16syl2anc 406 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
18 simplrr 506 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐵𝑚)
1918ensymd 6607 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚𝐵)
20 domentr 6615 . . . . . 6 ((𝐴𝑚𝑚𝐵) → 𝐴𝐵)
2117, 19, 20syl2anc 406 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝐵)
2221orcd 693 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
23 simplrr 506 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑚)
24 simpr 109 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
25 simplrl 505 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
2610adantr 272 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27 nndomo 6687 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2825, 26, 27syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2924, 28mpbird 166 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
30 endomtr 6614 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
3123, 29, 30syl2anc 406 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
327adantr 272 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐴𝑛)
3332ensymd 6607 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛𝐴)
34 domentr 6615 . . . . . 6 ((𝐵𝑛𝑛𝐴) → 𝐵𝐴)
3531, 33, 34syl2anc 406 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝐴)
3635olcd 694 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
37 simprl 501 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38 nntri2or2 6324 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
3910, 37, 38syl2anc 406 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
4022, 36, 39mpjaodan 753 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
416, 40rexlimddv 2513 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
423, 41rexlimddv 2513 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  wcel 1448  wrex 2376  wss 3021   class class class wbr 3875  ωcom 4442  cen 6562  cdom 6563  Fincfn 6564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567
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