Theorem fientri3 7150

Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fientri3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fientri3

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6977	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6977	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ⊆ 𝑚)
10		simplrl 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12		simplrl 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13		nndomo 7093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
15	9, 14	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ≼ 𝑚)
16		endomtr 7007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
18		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐵 ≈ 𝑚)
19	18	ensymd 7000	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ≈ 𝐵)
20		domentr 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	orcd 741	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
23		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≈ 𝑚)
24		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ⊆ 𝑛)
25		simplrl 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
26	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27		nndomo 7093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
29	24, 28	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ≼ 𝑛)
30		endomtr 7007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≼ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
31	23, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
32	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33	32	ensymd 7000	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ≈ 𝐴)
34		domentr 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
35	31, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝐴)
36	35	olcd 742	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
37		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38		nntri2or2 6709	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
39	10, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
40	22, 36, 39	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
41	6, 40	rexlimddv 2656	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
42	3, 41	rexlimddv 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ωcom 4694   ≈ cen 6950   ≼ cdom 6951  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955

This theorem is referenced by: (None)