Theorem fientri3 6916

Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fientri3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fientri3

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6763	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
9		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ⊆ 𝑚)
10		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13		nndomo 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
15	9, 14	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ≼ 𝑚)
16		endomtr 6792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
18		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐵 ≈ 𝑚)
19	18	ensymd 6785	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ≈ 𝐵)
20		domentr 6793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	orcd 733	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
23		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≈ 𝑚)
24		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ⊆ 𝑛)
25		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
26	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27		nndomo 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
29	24, 28	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ≼ 𝑛)
30		endomtr 6792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≼ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
31	23, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
32	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33	32	ensymd 6785	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ≈ 𝐴)
34		domentr 6793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
35	31, 33, 34	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝐴)
36	35	olcd 734	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
37		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38		nntri2or2 6501	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
39	10, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
40	22, 36, 39	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
41	6, 40	rexlimddv 2599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
42	3, 41	rexlimddv 2599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005  ωcom 4591   ≈ cen 6740   ≼ cdom 6741  Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745

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