Theorem fientri3 6552

Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fientri3	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem fientri3

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6408	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 118	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6408	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 118	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad2antlr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrr 503	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
8	7	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≈ 𝑛)
9		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ⊆ 𝑚)
10		simplrl 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
11	10	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12		simplrl 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13		nndomo 6510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
14	11, 12, 13	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
15	9, 14	mpbird 165	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑛 ≼ 𝑚)
16		endomtr 6437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≼ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
17	8, 15, 16	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝑚)
18		simplrr 503	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐵 ≈ 𝑚)
19	18	ensymd 6430	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝑚 ≈ 𝐵)
20		domentr 6438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝑚 ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	orcd 685	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑛 ⊆ 𝑚) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
23		simplrr 503	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≈ 𝑚)
24		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ⊆ 𝑛)
25		simplrl 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
26	10	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27		nndomo 6510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
28	25, 26, 27	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝑚 ≼ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊆ 𝑛))
29	24, 28	mpbird 165	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑚 ≼ 𝑛)
30		endomtr 6437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝑚 ∧ 𝑚 ≼ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
31	23, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝑛)
32	7	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐴 ≈ 𝑛)
33	32	ensymd 6430	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝑛 ≈ 𝐴)
34		domentr 6438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
35	31, 33, 34	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → 𝐵 ≼ 𝐴)
36	35	olcd 686	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) ∧ 𝑚 ⊆ 𝑛) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
37		simprl 498	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38		nntri2or2 6191	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
39	10, 37, 38	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ∨ 𝑚 ⊆ 𝑛))
40	22, 36, 39	mpjaodan 745	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
41	6, 40	rexlimddv 2487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
42	3, 41	rexlimddv 2487	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354   ⊆ wss 2984   class class class wbr 3811  ωcom 4368   ≈ cen 6385   ≼ cdom 6386  Fincfn 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390

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