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Theorem fientri3 6914
Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fientri3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fientri3
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6761 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 276 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6761 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 120 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad2antlr 489 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 536 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
87adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑛)
9 simpr 110 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
10 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
1110adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13 nndomo 6864 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
159, 14mpbird 167 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
16 endomtr 6790 . . . . . . 7 ((𝐴𝑛𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
18 simplrr 536 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐵𝑚)
1918ensymd 6783 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚𝐵)
20 domentr 6791 . . . . . 6 ((𝐴𝑚𝑚𝐵) → 𝐴𝐵)
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝐵)
2221orcd 733 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
23 simplrr 536 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑚)
24 simpr 110 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
25 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
2610adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27 nndomo 6864 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2924, 28mpbird 167 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
30 endomtr 6790 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
3123, 29, 30syl2anc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
327adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐴𝑛)
3332ensymd 6783 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛𝐴)
34 domentr 6791 . . . . . 6 ((𝐵𝑛𝑛𝐴) → 𝐵𝐴)
3531, 33, 34syl2anc 411 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝐴)
3635olcd 734 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
37 simprl 529 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38 nntri2or2 6499 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
3910, 37, 38syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
4022, 36, 39mpjaodan 798 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
416, 40rexlimddv 2599 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
423, 41rexlimddv 2599 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wcel 2148  wrex 2456  wss 3130   class class class wbr 4004  ωcom 4590  cen 6738  cdom 6739  Fincfn 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743
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