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Theorem fientri3 6943
Description: Trichotomy of dominance for finite sets. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fientri3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem fientri3
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6787 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 120 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 276 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6787 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 120 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad2antlr 489 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 536 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
87adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑛)
9 simpr 110 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
10 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
1110adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ω)
12 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ω)
13 nndomo 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
159, 14mpbird 167 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
16 endomtr 6816 . . . . . . 7 ((𝐴𝑛𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
178, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝑚)
18 simplrr 536 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐵𝑚)
1918ensymd 6809 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚𝐵)
20 domentr 6817 . . . . . 6 ((𝐴𝑚𝑚𝐵) → 𝐴𝐵)
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝐴𝐵)
2221orcd 734 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
23 simplrr 536 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑚)
24 simpr 110 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
25 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚 ∈ ω)
2610adantr 276 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
27 nndomo 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝑚𝑛𝑚𝑛))
2924, 28mpbird 167 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑚𝑛)
30 endomtr 6816 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
3123, 29, 30syl2anc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝑛)
327adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐴𝑛)
3332ensymd 6809 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝑛𝐴)
34 domentr 6817 . . . . . 6 ((𝐵𝑛𝑛𝐴) → 𝐵𝐴)
3531, 33, 34syl2anc 411 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → 𝐵𝐴)
3635olcd 735 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) ∧ 𝑚𝑛) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
37 simprl 529 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
38 nntri2or2 6523 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
3910, 37, 38syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑚𝑛))
4022, 36, 39mpjaodan 799 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
416, 40rexlimddv 2612 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
423, 41rexlimddv 2612 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  wcel 2160  wrex 2469  wss 3144   class class class wbr 4018  ωcom 4607  cen 6764  cdom 6765  Fincfn 6766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769
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