ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn GIF version

Theorem prarloclemn 7275
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7279. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁N)
2 1pi 7091 . . . . 5 1oN
3 ltpiord 7095 . . . . 5 ((1oN𝑁N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o𝑁))
42, 3mpan 420 . . . 4 (𝑁N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o𝑁))
54biimpa 294 . . 3 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o𝑁)
6 piord 7087 . . . 4 (𝑁N → Ord 𝑁)
7 ordsucss 4390 . . . 4 (Ord 𝑁 → (1o𝑁 → suc 1o𝑁))
86, 7syl 14 . . 3 (𝑁N → (1o𝑁 → suc 1o𝑁))
91, 5, 8sylc 62 . 2 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o𝑁)
10 df-2o 6282 . . . 4 2o = suc 1o
1110sseq1i 3093 . . 3 (2o𝑁 ↔ suc 1o𝑁)
12 pinn 7085 . . . . 5 (𝑁N𝑁 ∈ ω)
13 2onn 6385 . . . . . 6 2o ∈ ω
14 nnawordex 6392 . . . . . 6 ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
1513, 14mpan 420 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → (2o𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
1612, 15syl 14 . . . 4 (𝑁N → (2o𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
1716adantr 274 . . 3 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
1811, 17syl5bbr 193 . 2 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
199, 18mpbid 146 1 ((𝑁N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394  wss 3041   class class class wbr 3899  Ord word 4254  suc csuc 4257  ωcom 4474  (class class class)co 5742  1oc1o 6274  2oc2o 6275   +o coa 6278  Ncnpi 7048   <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-ni 7080  df-lti 7083
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7276
  Copyright terms: Public domain W3C validator