Theorem prarloclemn 7830

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7834. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 7646	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
3		ltpiord 7650	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o ∈ 𝑁)
6		piord 7642	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4631	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6661	. . . 4 ⊢ 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3268	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 𝑁 ↔ suc 1o ⊆ 𝑁)
12		pinn 7640	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6767	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
14		nnawordex 6775	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  Ord word 4488  suc csuc 4491  ωcom 4717  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   +_o coa 6657  Ncnpi 7603   <_N clti 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-ni 7635  df-lti 7638

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7831