ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn GIF version

Theorem prarloclemn 7037
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7041. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 𝑁N)
2 1pi 6853 . . . . 5 1𝑜N
3 ltpiord 6857 . . . . 5 ((1𝑜N𝑁N) → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜𝑁))
42, 3mpan 415 . . . 4 (𝑁N → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜𝑁))
54biimpa 290 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 1𝑜𝑁)
6 piord 6849 . . . 4 (𝑁N → Ord 𝑁)
7 ordsucss 4311 . . . 4 (Ord 𝑁 → (1𝑜𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
86, 7syl 14 . . 3 (𝑁N → (1𝑜𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
91, 5, 8sylc 61 . 2 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → suc 1𝑜𝑁)
10 df-2o 6164 . . . 4 2𝑜 = suc 1𝑜
1110sseq1i 3048 . . 3 (2𝑜𝑁 ↔ suc 1𝑜𝑁)
12 pinn 6847 . . . . 5 (𝑁N𝑁 ∈ ω)
13 2onn 6260 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
14 nnawordex 6267 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1513, 14mpan 415 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1612, 15syl 14 . . . 4 (𝑁N → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1716adantr 270 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1811, 17syl5bbr 192 . 2 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (suc 1𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
199, 18mpbid 145 1 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  wss 2997   class class class wbr 3837  Ord word 4180  suc csuc 4183  ωcom 4395  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157   +𝑜 coa 6160  Ncnpi 6810   <N clti 6813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-ni 6842  df-lti 6845
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7038
  Copyright terms: Public domain W3C validator