Theorem prarloclemn 7779

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7783. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 7595	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
3		ltpiord 7599	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o ∈ 𝑁)
6		piord 7591	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4608	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6626	. . . 4 ⊢ 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3254	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 𝑁 ↔ suc 1o ⊆ 𝑁)
12		pinn 7589	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6732	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
14		nnawordex 6740	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  Ord word 4465  suc csuc 4468  ωcom 4694  (class class class)co 6028  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   +_o coa 6622  Ncnpi 7552   <_N clti 7555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-ni 7584  df-lti 7587

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7780