Theorem prarloclemn 7709

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7713. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 7525	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
3		ltpiord 7529	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o ∈ 𝑁)
6		piord 7521	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4600	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6578	. . . 4 ⊢ 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3251	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 𝑁 ↔ suc 1o ⊆ 𝑁)
12		pinn 7519	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6684	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
14		nnawordex 6692	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  Ord word 4457  suc csuc 4460  ωcom 4686  (class class class)co 6013  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   +_o coa 6574  Ncnpi 7482   <_N clti 7485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-ni 7514  df-lti 7517

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7710