Theorem prarloclemn 7500

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7504. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 7316	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
3		ltpiord 7320	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o ∈ 𝑁)
6		piord 7312	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4505	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6420	. . . 4 ⊢ 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3183	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 𝑁 ↔ suc 1o ⊆ 𝑁)
12		pinn 7310	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6524	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
14		nnawordex 6532	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005  Ord word 4364  suc csuc 4367  ωcom 4591  (class class class)co 5877  1_oc1o 6412  2_oc2o 6413   +_o coa 6416  Ncnpi 7273   <_N clti 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-ni 7305  df-lti 7308

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7501