Theorem prarloclemn 7866

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7870. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 7682	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ N
3		ltpiord 7686	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o <N 𝑁 ↔ 1o ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → 1o ∈ 𝑁)
6		piord 7678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4651	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1o ∈ 𝑁 → suc 1o ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → suc 1o ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6688	. . . 4 ⊢ 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3274	. . 3 ⊢ (2o ⊆ 𝑁 ↔ suc 1o ⊆ 𝑁)
12		pinn 7676	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6794	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
14		nnawordex 6802	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (2o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → (suc 1o ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1o <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2o +o 𝑥) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  Ord word 4507  suc csuc 4510  ωcom 4737  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   +_o coa 6684  Ncnpi 7639   <_N clti 7642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-ni 7671  df-lti 7674

This theorem is used by:  prarloclem5  7867