Theorem ennnfonelemhom 13250

Description: Lemma for ennnfone 13260. The sequences in 𝐻 increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhom.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐻,𝑘,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦,𝑗,𝑘   𝑛,𝑁   𝑗,𝐺   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑗   𝑛,𝐹,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑗,𝐽   𝑥,𝑖,𝑦,𝑗   𝑖,𝑛,𝐻,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
2		eleq1 2297	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
3	2	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
5		eleq1 2297	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
6	5	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
8		eleq1 2297	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
9	8	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
11		eleq1 2297	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
12	11	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
14		1nn0 9529	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0ex 4242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	snid 3725	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 13242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
25	24	dmeqd 4963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
26		peano1 4721	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fof 5595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
30	28, 29	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
31		fnsng 5408	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴) → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
32	26, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
33		fndm 5460	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅} → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
35	25, 34	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = {∅})
36	16, 35	eleqtrrid 2324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom (𝐻‘1))
37		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘1))
38	37	dmeqd 4963	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘1))
39	38	eleq2d 2304	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)))
40	39	rspcev 2923	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
41	14, 36, 40	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
42	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
43	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
44	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
45		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑎))
46	45	neeq1d 2432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
47	46	ralbidv 2544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
48	47	cbvrexv 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
49	48	ralbii 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
50	44, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
51		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 13249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
53	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
54	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
55	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
56		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 13243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω)
58		nnord 4739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω → Ord dom (𝐻‘𝑞))
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → Ord dom (𝐻‘𝑞))
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
61		ordsucss 4631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord dom (𝐻‘𝑞) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞)))
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞))
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 13243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
65		nnsucelsuc 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
67	63, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
69	62, 68	sseldd 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
70	69	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
71	70	reximdva 2646	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
73	72	rexlimdva2 2665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
74		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘𝑞))
75	74	dmeqd 4963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘𝑞))
76	75	eleq2d 2304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
77	76	cbvrexv 2781	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
78	73, 77	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
79	78	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
80	79	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4727	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
82	1, 81	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694  ⟨cop 3697   ↦ cmpt 4176  Ord word 4488  suc csuc 4491  ωcom 4717  ^◡ccnv 4753  dom cdm 4754   “ cima 4757   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  –onto→wfo 5355  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060  freccfrec 6634   ↑_pm cpm 6896  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   − cmin 8460  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pm 6898  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  13255