Theorem ennnfonelemhom 12901

Description: Lemma for ennnfone 12911. The sequences in 𝐻 increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhom.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐻,𝑘,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦,𝑗,𝑘   𝑛,𝑁   𝑗,𝐺   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑗   𝑛,𝐹,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑗,𝐽   𝑥,𝑖,𝑦,𝑗   𝑖,𝑛,𝐻,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
2		eleq1 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
3	2	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
5		eleq1 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
6	5	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
8		eleq1 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
9	8	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
11		eleq1 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
12	11	rexbidv 2509	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
14		1nn0 9346	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0ex 4187	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	snid 3674	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 12893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
25	24	dmeqd 4899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
26		peano1 4660	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fof 5520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
30	28, 29	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
31		fnsng 5340	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴) → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
32	26, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
33		fndm 5392	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅} → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
35	25, 34	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = {∅})
36	16, 35	eleqtrrid 2297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom (𝐻‘1))
37		fveq2 5599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘1))
38	37	dmeqd 4899	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘1))
39	38	eleq2d 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)))
40	39	rspcev 2884	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
41	14, 36, 40	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
42	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
43	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
44	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
45		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑎))
46	45	neeq1d 2396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
47	46	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
48	47	cbvrexv 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
49	48	ralbii 2514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
50	44, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
51		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 12900	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
53	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
54	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
55	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
56		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 12894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω)
58		nnord 4678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω → Ord dom (𝐻‘𝑞))
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → Ord dom (𝐻‘𝑞))
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
61		ordsucss 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord dom (𝐻‘𝑞) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞)))
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞))
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 12894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
65		nnsucelsuc 6600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
67	63, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
69	62, 68	sseldd 3202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
70	69	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
71	70	reximdva 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
73	72	rexlimdva2 2628	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
74		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘𝑞))
75	74	dmeqd 4899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘𝑞))
76	75	eleq2d 2277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
77	76	cbvrexv 2743	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
78	73, 77	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
79	78	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
80	79	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4666	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
82	1, 81	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∪ cun 3172   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  ifcif 3579  {csn 3643  ⟨cop 3646   ↦ cmpt 4121  Ord word 4427  suc csuc 4430  ωcom 4656  ^◡ccnv 4692  dom cdm 4693   “ cima 4696   Fn wfn 5285  ⟶wf 5286  –onto→wfo 5288  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   ∈ cmpo 5969  freccfrec 6499   ↑_pm cpm 6759  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   − cmin 8278  ℕ₀cn0 9330  ℤcz 9407  seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pm 6761  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12906