Theorem ennnfonelemhom 12418

Description: Lemma for ennnfone 12428. The sequences in 𝐻 increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhom.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐻,𝑘,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦,𝑗,𝑘   𝑛,𝑁   𝑗,𝐺   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑗   𝑛,𝐹,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑗,𝐽   𝑥,𝑖,𝑦,𝑗   𝑖,𝑛,𝐻,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
2		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
3	2	rexbidv 2478	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
5		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
6	5	rexbidv 2478	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
8		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
9	8	rexbidv 2478	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
11		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
12	11	rexbidv 2478	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
14		1nn0 9194	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0ex 4132	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	snid 3625	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 12410	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
25	24	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
26		peano1 4595	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fof 5440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
30	28, 29	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
31		fnsng 5265	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴) → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
32	26, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
33		fndm 5317	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅} → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
35	25, 34	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = {∅})
36	16, 35	eleqtrrid 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom (𝐻‘1))
37		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘1))
38	37	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘1))
39	38	eleq2d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)))
40	39	rspcev 2843	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
41	14, 36, 40	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
42	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
43	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
44	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
45		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑎))
46	45	neeq1d 2365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
47	46	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
48	47	cbvrexv 2706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
49	48	ralbii 2483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
50	44, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
51		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 12417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
53	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
54	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
55	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
56		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 12411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω)
58		nnord 4613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω → Ord dom (𝐻‘𝑞))
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → Ord dom (𝐻‘𝑞))
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
61		ordsucss 4505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord dom (𝐻‘𝑞) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞)))
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞))
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 12411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
65		nnsucelsuc 6494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
67	63, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
69	62, 68	sseldd 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
70	69	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
71	70	reximdva 2579	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
73	72	rexlimdva2 2597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
74		fveq2 5517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘𝑞))
75	74	dmeqd 4831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘𝑞))
76	75	eleq2d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
77	76	cbvrexv 2706	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
78	73, 77	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
79	78	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
80	79	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4601	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
82	1, 81	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594  ⟨cop 3597   ↦ cmpt 4066  Ord word 4364  suc csuc 4367  ωcom 4591  ^◡ccnv 4627  dom cdm 4628   “ cima 4631   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  –onto→wfo 5216  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  freccfrec 6393   ↑_pm cpm 6651  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   − cmin 8130  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pm 6653  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12423