Theorem ennnfonelemhom 11964

Description: Lemma for ennnfone 11974. The sequences in 𝐻 increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemhom.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐻,𝑘,𝑗,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑛   𝑥,𝑁,𝑦,𝑗,𝑘   𝑛,𝑁   𝑗,𝐺   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑗   𝑛,𝐹,𝑗   𝑥,𝐴,𝑦,𝑗   𝑗,𝐽   𝑥,𝑖,𝑦,𝑗   𝑖,𝑛,𝐻,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑖,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ω)
2		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
3	2	rexbidv 2439	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
5		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
6	5	rexbidv 2439	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
8		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
9	8	rexbidv 2439	. . . 4 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
11		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
12	11	rexbidv 2439	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑀 → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑤 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ↔ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
14		1nn0 9017	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0ex 4063	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
16	15	snid 3563	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 11956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
25	24	dmeqd 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
26		peano1 4516	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
27		fof 5353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶𝐴)
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ω)
30	28, 29	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝐴)
31		fnsng 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ 𝐴) → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
32	26, 30, 31	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅})
33		fndm 5230	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} Fn {∅} → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩} = {∅})
35	25, 34	eqtrd 2173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘1) = {∅})
36	16, 35	eleqtrrid 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom (𝐻‘1))
37		fveq2 5429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘1))
38	37	dmeqd 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘1))
39	38	eleq2d 2210	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)))
40	39	rspcev 2793	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ dom (𝐻‘1)) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
41	14, 36, 40	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∅ ∈ dom (𝐻‘𝑖))
42	17	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
43	18	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
44	19	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
45		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑎))
46	45	neeq1d 2327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
47	46	ralbidv 2438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗)))
48	47	cbvrexv 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
49	48	ralbii 2444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
50	44, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑎 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑗))
51		simplr 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 11963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
53	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
54	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
55	44	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
56		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 11957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω)
58		nnord 4533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom (𝐻‘𝑞) ∈ ω → Ord dom (𝐻‘𝑞))
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → Ord dom (𝐻‘𝑞))
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞))
61		ordsucss 4428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord dom (𝐻‘𝑞) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞)))
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc dom (𝐻‘𝑖) ⊆ dom (𝐻‘𝑞))
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 11957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω)
65		nnsucelsuc 6395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (𝐻‘𝑖) ∈ ω → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖)))
67	63, 66	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
68	67	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ suc dom (𝐻‘𝑖))
69	62, 68	sseldd 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) ∧ dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞)) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
70	69	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ0) → (dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
71	70	reximdva 2537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (∃𝑞 ∈ ℕ0 dom (𝐻‘𝑖) ∈ dom (𝐻‘𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
73	72	rexlimdva2 2555	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
74		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (𝐻‘𝑖) = (𝐻‘𝑞))
75	74	dmeqd 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → dom (𝐻‘𝑖) = dom (𝐻‘𝑞))
76	75	eleq2d 2210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑞 → (suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞)))
77	76	cbvrexv 2658	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) ↔ ∃𝑞 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑞))
78	73, 77	syl6ibr 161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
79	78	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
80	79	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖)) → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 suc 𝑘 ∈ dom (𝐻‘𝑖))))
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4522	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖)))
82	1, 81	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑀 ∈ dom (𝐻‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  ifcif 3479  {csn 3532  ⟨cop 3535   ↦ cmpt 3997  Ord word 4292  suc csuc 4295  ωcom 4512  ^◡ccnv 4546  dom cdm 4547   “ cima 4550   Fn wfn 5126  ⟶wf 5127  –onto→wfo 5129  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782   ∈ cmpo 5784  freccfrec 6295   ↑_pm cpm 6551  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   − cmin 7957  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pm 6553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  11969