Theorem sucinc2 6350

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
sucinc2	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem sucinc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4305	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsucss 4428	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		sssucid 4345	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
6	4, 5	sstrdi 3114	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → suc 𝐴 ⊆ suc 𝐵)
7		onelon 4314	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
8		elex 2700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ V)
9		sucexg 4422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
10		suceq 4332	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
11		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
12	10, 11	fvmptg 5505	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ suc 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) = suc 𝐴)
13	8, 9, 12	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = suc 𝐴)
14	7, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) = suc 𝐴)
15		elex 2700	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ V)
16		sucexg 4422	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ V)
17		suceq 4332	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → suc 𝑧 = suc 𝐵)
18	17, 11	fvmptg 5505	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ suc 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐵) = suc 𝐵)
19	15, 16, 18	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐹‘𝐵) = suc 𝐵)
20	19	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐵) = suc 𝐵)
21	6, 14, 20	3sstr4d 3147	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ⊆ wss 3076   ↦ cmpt 3997  Ord word 4292  Oncon0 4293  suc csuc 4295  ‘cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)