Theorem nndomo 6920

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
2	1	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
3		domtr 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → suc 𝐵 ≼ 𝐵)
4	3	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
6	2, 5	mtod 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐴)
7		ssdomg 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 8	mtod 664	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		nnord 4644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
11		ordsucss 4536	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	9, 13	mtod 664	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
15		nntri1 6549	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	14, 16	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	17	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
19		ssdomg 6832	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	19	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	18, 20	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  Ord word 4393  suc csuc 4396  ωcom 4622   ≼ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by:  fisbth  6939  fientri3  6971  hashennnuni  10850  fihashdom  10874  pwf1oexmid  15490