Theorem nndomo 6934

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
2	1	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐵)
3		domtr 6853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → suc 𝐵 ≼ 𝐵)
4	3	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ≼ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐵))
6	2, 5	mtod 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ≼ 𝐴)
7		ssdomg 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
9	6, 8	mtod 664	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ suc 𝐵 ⊆ 𝐴)
10		nnord 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
11		ordsucss 4541	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
13	12	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
14	9, 13	mtod 664	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
15		nntri1 6563	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
17	14, 16	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
18	17	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
19		ssdomg 6846	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	19	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	18, 20	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  Ord word 4398  suc csuc 4401  ωcom 4627   ≼ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  fisbth  6953  fientri3  6985  hashennnuni  10888  fihashdom  10912  pwf1oexmid  15730