Theorem elnn 4605

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4604	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ⊆ ω)
2		ssel2 3150	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3	2	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ ω)
4	1, 3	sylan2 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  ωcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-suc 4371  df-iom 4590

This theorem is referenced by:  ordom  4606  peano2b  4614  nntr2  6503  nndifsnid  6507  nnaordi  6508  nnmordi  6516  fidceq  6868  nnwetri  6914  enumctlemm  7112  nninfwlpoimlemg  7172  nninfwlpoimlemginf  7173  2onetap  7253  2omotaplemap  7255  ennnfonelemdm  12420  ennnfonelemnn0  12422  xpscf  12765  nnti  14714  nninfsellemdc  14729  nninfsellemeq  14733  nninfsellemeqinf  14735