Theorem elnn 4527

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3125	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ⊆ ω ↔ ∅ ⊆ ω))
2		sseq1 3125	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝑥 ⊆ ω))
3		sseq1 3125	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ⊆ ω ↔ suc 𝑥 ⊆ ω))
4		sseq1 3125	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐵 ⊆ ω))
5		0ss 3406	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ω
6		unss 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ {𝑥} ⊆ ω) ↔ (𝑥 ∪ {𝑥}) ⊆ ω)
7		vex 2692	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	snss 3657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ {𝑥} ⊆ ω)
9	8	anbi2i 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ {𝑥} ⊆ ω))
10		df-suc 4301	. . . . . . 7 ⊢ suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥})
11	10	sseq1i 3128	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑥 ⊆ ω ↔ (𝑥 ∪ {𝑥}) ⊆ ω)
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ↔ suc 𝑥 ⊆ ω)
13	12	biimpi 119	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → suc 𝑥 ⊆ ω)
14	13	expcom 115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω → suc 𝑥 ⊆ ω))
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4522	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ⊆ ω)
16		ssel2 3097	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
17	16	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ ω)
18	15, 17	sylan2 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  {csn 3532  suc csuc 4295  ωcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  ordom  4528  peano2b  4536  nntr2  6407  nndifsnid  6411  nnaordi  6412  nnmordi  6420  fidceq  6771  nnwetri  6812  enumctlemm  7007  ennnfonelemdm  11969  ennnfonelemnn0  11971  nnti  13362  nninfsellemdc  13381  nninfsellemeq  13385  nninfsellemeqinf  13387