Theorem elnn 4643

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4642	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ⊆ ω)
2		ssel2 3179	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3	2	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ ω)
4	1, 3	sylan2 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ωcom 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628

This theorem is referenced by:  ordom  4644  peano2b  4652  nntr2  6562  nndifsnid  6566  nnaordi  6567  nnmordi  6575  fidceq  6931  nnwetri  6978  enumctlemm  7181  nninfwlpoimlemg  7242  nninfwlpoimlemginf  7243  2onetap  7324  2omotaplemap  7326  nninfinf  10537  ennnfonelemdm  12647  ennnfonelemnn0  12649  xpscf  13000  nnti  15649  nninfsellemdc  15664  nninfsellemeq  15668  nninfsellemeqinf  15670