Theorem elnn 4639

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4638	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ⊆ ω)
2		ssel2 3175	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
3	2	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ ω)
4	1, 3	sylan2 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  ωcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  ordom  4640  peano2b  4648  nntr2  6558  nndifsnid  6562  nnaordi  6563  nnmordi  6571  fidceq  6927  nnwetri  6974  enumctlemm  7175  nninfwlpoimlemg  7236  nninfwlpoimlemginf  7237  2onetap  7317  2omotaplemap  7319  nninfinf  10517  ennnfonelemdm  12580  ennnfonelemnn0  12582  xpscf  12933  nnti  15555  nninfsellemdc  15570  nninfsellemeq  15574  nninfsellemeqinf  15576