ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmsucr GIF version

Theorem nnmsucr 6489
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))

Proof of Theorem nnmsucr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo ๐ต))
2 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต))
3 id 19 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ๐‘ฅ = ๐ต)
42, 3oveq12d 5893 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))
51, 4eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต)))
65imbi2d 230 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))))
7 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo โˆ…))
8 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
9 id 19 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
108, 9oveq12d 5893 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…))
117, 10eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…)))
12 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ))
13 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
14 id 19 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
1513, 14oveq12d 5893 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ))
1612, 15eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ)))
17 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
18 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
19 id 19 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ)
2018, 19oveq12d 5893 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ))
2117, 20eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ)))
22 peano2 4595 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
23 nnm0 6476 . . . . . . 7 (suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2422, 23syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
25 nnm0 6476 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2624, 25eqtr4d 2213 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
27 peano1 4594 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ ฯ‰
28 nnmcl 6482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰)
2927, 28mpan2 425 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰)
30 nna0 6475 . . . . . 6 ((๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…) = (๐ด ยทo โˆ…))
3226, 31eqtr4d 2213 . . . 4 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo โˆ…) = ((๐ด ยทo โˆ…) +o โˆ…))
33 oveq1 5882 . . . . . 6 ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
34 peano2b 4615 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†” suc ๐ด โˆˆ ฯ‰)
35 nnmsuc 6478 . . . . . . . 8 ((suc ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
3634, 35sylanb 284 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
37 nnmcl 6482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰)
38 peano2b 4615 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
39 nnaass 6486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4038, 39syl3an3b 1276 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4137, 40syl3an1 1271 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
42413expb 1204 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
4342anidms 397 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
44 nnmsuc 6478 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
4544oveq1d 5890 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) +o suc ๐‘ฆ))
46 nnaass 6486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง suc ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
4734, 46syl3an3b 1276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
4837, 47syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
49483expb 1204 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
5049an42s 589 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
5150anidms 397 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
52 nnacom 6485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o ๐ด))
53 suceq 4403 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o ๐ด) โ†’ suc (๐ด +o ๐‘ฆ) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc (๐ด +o ๐‘ฆ) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
55 nnasuc 6477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o suc ๐‘ฆ) = suc (๐ด +o ๐‘ฆ))
56 nnasuc 6477 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o suc ๐ด) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5756ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ +o suc ๐ด) = suc (๐‘ฆ +o ๐ด))
5854, 55, 573eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +o suc ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +o suc ๐ด))
5958oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐‘ฆ +o suc ๐ด)))
6051, 59eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o (๐ด +o suc ๐‘ฆ)))
6143, 45, 603eqtr4d 2220 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด))
6236, 61eqeq12d 2192 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ) โ†” ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o suc ๐ด) = (((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) +o suc ๐ด)))
6333, 62imbitrrid 156 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ)))
6463expcom 116 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((suc ๐ด ยทo ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐‘ฆ) โ†’ (suc ๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) +o suc ๐‘ฆ))))
6511, 16, 21, 32, 64finds2 4601 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฅ)))
666, 65vtoclga 2804 . 2 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต)))
6766impcom 125 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (suc ๐ด ยทo ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ…c0 3423  suc csuc 4366  ฯ‰com 4590  (class class class)co 5875   +o coa 6414   ยทo comu 6415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422
This theorem is referenced by:  nnmcom  6490
  Copyright terms: Public domain W3C validator