Theorem rabbidv 2804

Description: Equivalent wff's yield equal restricted class abstractions (deduction form). (Contributed by NM, 10-Feb-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rabbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	rabbidva 2803	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-ral 2527  df-rab 2531

This theorem is referenced by:  rabeqbidv  2810  difeq2  3335  seex  4461  mptiniseg  5262  elovmporab  6262  supeq1  7290  supeq2  7293  supeq3  7294  cardcl  7490  isnumi  7491  cardval3ex  7494  carden2bex  7499  genpdflem  7838  genipv  7840  genpelxp  7842  addcomprg  7909  mulcomprg  7911  uzval  9876  ixxval  10251  fzval  10366  hashinfom  11169  hashennn  11171  ssenneg  11232  hashfibclem  11234  hashfibc  11235  shftfn  11537  bitsfval  12656  gcdval  12683  lcmval  12788  isprm  12834  odzval  12967  pceulem  13020  pceu  13021  pcval  13022  pczpre  13023  pcdiv  13028  ballotfilemi  13190  ballotfi  13229  lspval  14667  istopon  15007  toponsspwpwg  15016  clsval  15105  neival  15137  cnpval  15192  blvalps  15382  blval  15383  limccl  15653  ellimc3apf  15654  eldvap  15676  sgmval  15980  vtxdgfifival  16415  clwwlknon  16553  clwwlk0on0  16555  eupth2fi  16603