Theorem rabbidv 2788

Description: Equivalent wff's yield equal restricted class abstractions (deduction form). (Contributed by NM, 10-Feb-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rabbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	rabbidva 2787	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-ral 2513  df-rab 2517

This theorem is referenced by:  rabeqbidv  2794  difeq2  3316  seex  4427  mptiniseg  5226  elovmporab  6214  supeq1  7169  supeq2  7172  supeq3  7173  cardcl  7369  isnumi  7370  cardval3ex  7373  carden2bex  7378  genpdflem  7710  genipv  7712  genpelxp  7714  addcomprg  7781  mulcomprg  7783  uzval  9740  ixxval  10109  fzval  10223  hashinfom  11017  hashennn  11019  shftfn  11356  bitsfval  12474  gcdval  12501  lcmval  12606  isprm  12652  odzval  12785  pceulem  12838  pceu  12839  pcval  12840  pczpre  12841  pcdiv  12846  lspval  14375  istopon  14708  toponsspwpwg  14717  clsval  14806  neival  14838  cnpval  14893  blvalps  15083  blval  15084  limccl  15354  ellimc3apf  15355  eldvap  15377  sgmval  15678  vtxdgfifival  16077