Theorem rabbidv 2801

Description: Equivalent wff's yield equal restricted class abstractions (deduction form). (Contributed by NM, 10-Feb-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rabbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rabbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	rabbidva 2800	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-ral 2525  df-rab 2529

This theorem is referenced by:  rabeqbidv  2807  difeq2  3330  seex  4455  mptiniseg  5256  elovmporab  6253  supeq1  7276  supeq2  7279  supeq3  7280  cardcl  7476  isnumi  7477  cardval3ex  7480  carden2bex  7485  genpdflem  7818  genipv  7820  genpelxp  7822  addcomprg  7889  mulcomprg  7891  uzval  9851  ixxval  10225  fzval  10340  hashinfom  11136  hashennn  11138  ssenneg  11197  hashfibclem  11199  hashfibc  11200  shftfn  11502  bitsfval  12621  gcdval  12648  lcmval  12753  isprm  12799  odzval  12932  pceulem  12985  pceu  12986  pcval  12987  pczpre  12988  pcdiv  12993  lspval  14525  istopon  14865  toponsspwpwg  14874  clsval  14963  neival  14995  cnpval  15050  blvalps  15240  blval  15241  limccl  15511  ellimc3apf  15512  eldvap  15534  sgmval  15838  vtxdgfifival  16273  clwwlknon  16411  clwwlk0on0  16413  eupth2fi  16461