ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blfvalps GIF version

Theorem blfvalps 13924
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
blfvalps (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝐷   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem blfvalps
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bl 13489 . . 3 ball = (𝑑 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ}))
21a1i 9 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ball = (𝑑 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ})))
3 dmeq 4829 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 4831 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
5 psmetdmdm 13863 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
65eqcomd 2183 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom dom 𝐷 = 𝑋)
74, 6sylan9eqr 2232 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = 𝑋)
8 eqidd 2178 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ℝ* = ℝ*)
9 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑑 = 𝐷)
109oveqd 5894 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1110breq1d 4015 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ))
127, 11rabeqbidv 2734 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ})
137, 8, 12mpoeq123dv 5939 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
14 elex 2750 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ V)
15 ssrab2 3242 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋
16 psmetrel 13861 . . . . . . . . 9 Rel PsMet
17 relelfvdm 5549 . . . . . . . . 9 ((Rel PsMet ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
1816, 17mpan 424 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
1918adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
20 elpw2g 4158 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom PsMet β†’ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋))
2119, 20syl 14 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋))
2215, 21mpbiri 168 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋)
2322ralrimivva 2559 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2177 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ})
2524fmpo 6204 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
2623, 25sylib 122 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
27 xrex 9858 . . . 4 ℝ* ∈ V
28 xpexg 4742 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom PsMet ∧ ℝ* ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V)
2918, 27, 28sylancl 413 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V)
3018pwexd 4183 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
31 fex2 5386 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋 ∧ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) ∈ V)
3226, 29, 30, 31syl3anc 1238 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) ∈ V)
332, 13, 14, 32fvmptd 5599 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626  dom cdm 4628  Rel wrel 4633  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„*cxr 7993   < clt 7994  PsMetcpsmet 13478  ballcbl 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-psmet 13486  df-bl 13489
This theorem is referenced by:  blfval  13925  blvalps  13927  blfps  13948
  Copyright terms: Public domain W3C validator