ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blfvalps GIF version

Theorem blfvalps 13855
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
blfvalps (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝐷   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem blfvalps
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bl 13420 . . 3 ball = (𝑑 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ}))
21a1i 9 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ball = (𝑑 ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ})))
3 dmeq 4827 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 4829 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
5 psmetdmdm 13794 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
65eqcomd 2183 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom dom 𝐷 = 𝑋)
74, 6sylan9eqr 2232 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = 𝑋)
8 eqidd 2178 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ℝ* = ℝ*)
9 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑑 = 𝐷)
109oveqd 5891 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘₯𝑑𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1110breq1d 4013 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ))
127, 11rabeqbidv 2732 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ})
137, 8, 12mpoeq123dv 5936 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ dom dom 𝑑, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ dom dom 𝑑 ∣ (π‘₯𝑑𝑦) < π‘Ÿ}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
14 elex 2748 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ V)
15 ssrab2 3240 . . . . . 6 {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋
16 psmetrel 13792 . . . . . . . . 9 Rel PsMet
17 relelfvdm 5547 . . . . . . . . 9 ((Rel PsMet ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
1816, 17mpan 424 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
1918adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑋 ∈ dom PsMet)
20 elpw2g 4156 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom PsMet β†’ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋))
2119, 20syl 14 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} βŠ† 𝑋))
2215, 21mpbiri 168 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋)
2322ralrimivva 2559 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2177 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ})
2524fmpo 6201 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
2623, 25sylib 122 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
27 xrex 9855 . . . 4 ℝ* ∈ V
28 xpexg 4740 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom PsMet ∧ ℝ* ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V)
2918, 27, 28sylancl 413 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V)
3018pwexd 4181 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
31 fex2 5384 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋 ∧ (𝑋 Γ— ℝ*) ∈ V ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) ∈ V)
3226, 29, 30, 31syl3anc 1238 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}) ∈ V)
332, 13, 14, 32fvmptd 5597 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑋, π‘Ÿ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < π‘Ÿ}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626  Rel wrel 4631  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„*cxr 7990   < clt 7991  PsMetcpsmet 13409  ballcbl 13412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-psmet 13417  df-bl 13420
This theorem is referenced by:  blfval  13856  blvalps  13858  blfps  13879
  Copyright terms: Public domain W3C validator