ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resoprab2 GIF version

Theorem resoprab2 5993
Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
resoprab2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resoprab2
StepHypRef Expression
1 resoprab 5992 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))}
2 anass 401 . . . 4 ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)))
3 an4 586 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
4 ssel 3164 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
54pm4.71d 393 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐴)))
65bicomd 141 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
7 ssel 3164 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷𝑦𝐵))
87pm4.71d 393 . . . . . . . 8 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
98bicomd 141 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → ((𝑦𝐷𝑦𝐵) ↔ 𝑦𝐷))
106, 9bi2anan9 606 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
113, 10bitrid 192 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
1211anbi1d 465 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
132, 12bitr3id 194 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
1413oprabbidv 5950 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
151, 14eqtrid 2234 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wss 3144   × cxp 4642  cres 4646  {coprab 5897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-res 4656  df-oprab 5900
This theorem is referenced by:  resmpo  5994
  Copyright terms: Public domain W3C validator