ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resoprab2 GIF version

Theorem resoprab2 5948
Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
resoprab2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resoprab2
StepHypRef Expression
1 resoprab 5947 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))}
2 anass 399 . . . 4 ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)))
3 an4 581 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
4 ssel 3141 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
54pm4.71d 391 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐴)))
65bicomd 140 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
7 ssel 3141 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷𝑦𝐵))
87pm4.71d 391 . . . . . . . 8 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
98bicomd 140 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → ((𝑦𝐷𝑦𝐵) ↔ 𝑦𝐷))
106, 9bi2anan9 601 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
113, 10syl5bb 191 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
1211anbi1d 462 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
132, 12bitr3id 193 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
1413oprabbidv 5905 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
151, 14eqtrid 2215 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wss 3121   × cxp 4607  cres 4611  {coprab 5852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-opab 4049  df-xp 4615  df-rel 4616  df-res 4621  df-oprab 5855
This theorem is referenced by:  resmpo  5949
  Copyright terms: Public domain W3C validator