Theorem 0met 13815

Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0met	⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Proof of Theorem 0met

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4130	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		f0 5406	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶ℝ
3		xp0 5048	. . . 4 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
4	3	feq2i 5359	. . 3 ⊢ (∅:(∅ × ∅)⟶ℝ ↔ ∅:∅⟶ℝ)
5	2, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∅:(∅ × ∅)⟶ℝ
6		noel 3426	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	pm2.21i 646	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8	7	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ((𝑥∅𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9	6	pm2.21i 646	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
10	9	3ad2ant1 1018	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ∧ 𝑦 ∈ ∅ ∧ 𝑧 ∈ ∅) → (𝑥∅𝑦) ≤ ((𝑧∅𝑥) + (𝑧∅𝑦)))
11	1, 5, 8, 10	ismeti 13777	1 ⊢ ∅ ∈ (Met‘∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3422   class class class wbr 4003   × cxp 4624  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℝcr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   ≤ cle 7991  Metcmet 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-map 6649  df-met 13380

This theorem is referenced by: (None)