Theorem imasnopn 14467

Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
imasnopn	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem imasnopn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2		nfcv 2336	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑅 “ {𝐴})
3		nfrab1 2674	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅}
4		txtop 14428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top)
6		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾))
7		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝐽 ×t 𝐾) = ∪ (𝐽 ×t 𝐾)
8	7	eltopss 14177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)) → 𝑅 ⊆ ∪ (𝐽 ×t 𝐾))
9	5, 6, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ⊆ ∪ (𝐽 ×t 𝐾))
10		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
11		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
12	10, 11	txuni 14431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝑋 × ∪ 𝐾) = ∪ (𝐽 ×t 𝐾))
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑋 × ∪ 𝐾) = ∪ (𝐽 ×t 𝐾))
14	9, 13	sseqtrrd 3218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ⊆ (𝑋 × ∪ 𝐾))
15		imass1 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑋 × ∪ 𝐾) → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ ((𝑋 × ∪ 𝐾) “ {𝐴}))
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ ((𝑋 × ∪ 𝐾) “ {𝐴}))
17		xpimasn 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × ∪ 𝐾) “ {𝐴}) = ∪ 𝐾)
18	17	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑋 × ∪ 𝐾) “ {𝐴}) = ∪ 𝐾)
19	16, 18	sseqtrd 3217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ ∪ 𝐾)
20	19	sseld 3178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐾))
21	20	pm4.71rd 394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}))))
22		elimasng 5033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅))
23	22	elvd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅))
24	23	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅))
25	24	anbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)))
26	21, 25	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)))
27		rabid 2670	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅))
28	26, 27	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ (𝑅 “ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅}))
29	1, 2, 3, 28	eqrd 3197	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) = {𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅})
30		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) = (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩)
31	30	mptpreima 5159	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) “ 𝑅) = {𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝑅}
32	29, 31	eqtr4di 2244	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) = (◡(𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) “ 𝑅))
33	11	toptopon 14186	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
34	33	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
35	34	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
36	10	toptopon 14186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
37	36	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
38	37	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
39		simprr 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40	35, 38, 39	cnmptc 14450	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
41	35	cnmptid 14449	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
42	35, 40, 41	cnmpt1t 14453	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐾)))
43		cnima 14388	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐾)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾)) → (◡(𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) “ 𝑅) ∈ 𝐾)
44	42, 6, 43	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (◡(𝑦 ∈ ∪ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, 𝑦⟩) “ 𝑅) ∈ 𝐾)
45	32, 44	eqeltrd 2270	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 ×t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑅 “ {𝐴}) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  {csn 3618  ⟨cop 3621  ∪ cuni 3835   ↦ cmpt 4090   × cxp 4657  ^◡ccnv 4658   “ cima 4662  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Topctop 14165  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   ×_t ctx 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-topgen 12871  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421

This theorem is referenced by: (None)