Theorem 2olt9o 35878

Description: Ordinal 2 is less than ordinal 9. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2olt9o	⊢ 2o ∈ 9o

Proof of Theorem 2olt9o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8515	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
2		sucidg 6461	. . . 4 ⊢ (2o ∈ On → 2o ∈ suc 2o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2o ∈ suc 2o
4		df-3o 8503	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
5	3, 4	eleqtrri 2863	. 2 ⊢ 2o ∈ 3o
6		3olt9o 35877	. 2 ⊢ 3o ∈ 9o
7		9on 35866	. . 3 ⊢ 9o ∈ On
8		ontr1 6425	. . 3 ⊢ (9o ∈ On → ((2o ∈ 3o ∧ 3o ∈ 9o) → 2o ∈ 9o))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2o ∈ 3o ∧ 3o ∈ 9o) → 2o ∈ 9o)
10	5, 6, 9	mp2an 705	1 ⊢ 2o ∈ 9o

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Oncon0 6377  suc csuc 6379  2_oc2o 8495  3_oc3o 8496  9_oc9o 35856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-1o 8501  df-2o 8502  df-3o 8503  df-4o 8504  df-5o 35857  df-6o 35858  df-7o 35859  df-8o 35860  df-9o 35861

This theorem is used by:  1olt9o  35879  gdlopcfv2  35972