Theorem 2on 8468

Description: Ordinal 2 is an ordinal number. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) Avoid ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2on	⊢ 2o ∈ On

Proof of Theorem 2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8455	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 8467	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		2oex 8466	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2860	. . 3 ⊢ suc 1o ∈ V
5		sucexeloni 7809	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ suc 1o ∈ V) → suc 1o ∈ On)
6	2, 4, 5	mp2an 704	. 2 ⊢ suc 1o ∈ On
7	1, 6	eqeltri 2859	1 ⊢ 2o ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  Oncon0 6362  suc csuc 6364  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-1o 8454  df-2o 8455

This theorem is referenced by:  ord3  8470  3on  8471  ord2eln012  8483  o2p2e4  8527  oneo  8567  2onn  8629  nneob  8643  en3  9242  infxpenc  10003  infxpenc2  10007  mappwen  10097  pwdjuen  10166  ackbij1lem5  10207  sdom2en01  10287  fin1a2lem4  10388  fin1a2lem6  10390  xpsrnbas  17626  xpsadd  17629  xpsmul  17630  xpsvsca  17632  xpsle  17634  cat1  18155  xpsmnd  18836  xpsgrp  19126  efgval  19788  efgtf  19793  frgpcpbl  19830  frgp0  19831  frgpeccl  19832  frgpadd  19834  frgpmhm  19836  vrgpf  19839  vrgpinv  19840  frgpupf  19844  frgpup1  19846  frgpup2  19847  frgpup3lem  19848  frgpnabllem1  19944  frgpnabllem2  19945  xpsrngd  20258  xpsringd  20415  xpstopnlem1  23947  xpstps  23948  xpstopnlem2  23949  xpsxmetlem  24517  xpsdsval  24519  nofv  27799  ltsres  27804  noextendgt  27812  nolesgn2ores  27814  nosepnelem  27821  nosepdmlem  27825  nolt02o  27837  nogt01o  27838  nosupno  27845  nosupbnd1lem3  27852  nosupbnd1  27856  nosupbnd2lem1  27857  nosupbnd2  27858  bdaypw2n0bndlem  28634  ssoninhaus  36937  onint1  36938  1oequni2o  37992  finxpreclem4  38018  pw2f1ocnv  43744  frlmpwfi  43805  omnord1  44012  oege2  44014  oenord1  44023  oaomoencom  44024  oenassex  44025  oenass  44026  omabs2  44039  oaltom  44111  omltoe  44113  2fno  44143  nlim3  44150  tr3dom  44234  enrelmap  44703  nelsubc3  49826