Theorem 2on 8480

Description: Ordinal 2 is an ordinal number. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) Avoid ax-un 7725. (Revised by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2on	⊢ 2o ∈ On

Proof of Theorem 2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8467	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 8478	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		2oex 8477	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2831	. . 3 ⊢ suc 1o ∈ V
5		sucexeloni 7797	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ suc 1o ∈ V) → suc 1o ∈ On)
6	2, 4, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ suc 1o ∈ On
7	1, 6	eqeltri 2830	1 ⊢ 2o ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  Oncon0 6365  suc csuc 6367  1_oc1o 8459  2_oc2o 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-1o 8466  df-2o 8467

This theorem is referenced by:  ord3  8483  3on  8484  ord2eln012  8497  o2p2e4  8541  oneo  8581  2onn  8641  nneob  8655  en3  9282  infxpenc  10013  infxpenc2  10017  mappwen  10107  pwdjuen  10176  ackbij1lem5  10219  sdom2en01  10297  fin1a2lem4  10398  fin1a2lem6  10400  xpsrnbas  17517  xpsadd  17520  xpsmul  17521  xpsvsca  17523  xpsle  17525  cat1  18047  xpsmnd  18665  xpsgrp  18942  efgval  19585  efgtf  19590  frgpcpbl  19627  frgp0  19628  frgpeccl  19629  frgpadd  19631  frgpmhm  19633  vrgpf  19636  vrgpinv  19637  frgpupf  19641  frgpup1  19643  frgpup2  19644  frgpup3lem  19645  frgpnabllem1  19741  frgpnabllem2  19742  xpsringd  20145  xpstopnlem1  23313  xpstps  23314  xpstopnlem2  23315  xpsxmetlem  23885  xpsdsval  23887  nofv  27160  sltres  27165  noextendgt  27173  nolesgn2ores  27175  nosepnelem  27182  nosepdmlem  27186  nolt02o  27198  nogt01o  27199  nosupno  27206  nosupbnd1lem3  27213  nosupbnd1  27217  nosupbnd2lem1  27218  nosupbnd2  27219  ssoninhaus  35333  onint1  35334  1oequni2o  36249  finxpreclem4  36275  pw2f1ocnv  41776  frlmpwfi  41840  omnord1  42055  oege2  42057  oenord1  42066  oaomoencom  42067  oenassex  42068  oenass  42069  omabs2  42082  oaltom  42156  omltoe  42158  2no  42188  nlim3  42195  tr3dom  42279  enrelmap  42748  xpsrngd  46680