MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2on Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2on 8427
Description: Ordinal 2 is an ordinal number. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) Avoid ax-un 7673. (Revised by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
2on 2o ∈ On

Proof of Theorem 2on
StepHypRef Expression
1 df-2o 8414 . 2 2o = suc 1o
2 1on 8425 . . 3 1o ∈ On
3 2oex 8424 . . . 4 2o ∈ V
41, 3eqeltrri 2835 . . 3 suc 1o ∈ V
5 sucexeloni 7745 . . 3 ((1o ∈ On ∧ suc 1o ∈ V) → suc 1o ∈ On)
62, 4, 5mp2an 691 . 2 suc 1o ∈ On
71, 6eqeltri 2834 1 2o ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3446  Oncon0 6318  suc csuc 6320  1oc1o 8406  2oc2o 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-1o 8413  df-2o 8414
This theorem is referenced by:  ord3  8430  3on  8431  ord2eln012  8444  o2p2e4  8488  o2p2e4OLD  8489  oneo  8529  2onn  8589  nneob  8603  en3  9227  infxpenc  9955  infxpenc2  9959  mappwen  10049  pwdjuen  10118  ackbij1lem5  10161  sdom2en01  10239  fin1a2lem4  10340  fin1a2lem6  10342  xpsrnbas  17454  xpsadd  17457  xpsmul  17458  xpsvsca  17460  xpsle  17462  cat1  17984  xpsmnd  18597  xpsgrp  18867  efgval  19500  efgtf  19505  frgpcpbl  19542  frgp0  19543  frgpeccl  19544  frgpadd  19546  frgpmhm  19548  vrgpf  19551  vrgpinv  19552  frgpupf  19556  frgpup1  19558  frgpup2  19559  frgpup3lem  19560  frgpnabllem1  19652  frgpnabllem2  19653  xpstopnlem1  23163  xpstps  23164  xpstopnlem2  23165  xpsxmetlem  23735  xpsdsval  23737  nofv  27008  sltres  27013  noextendgt  27021  nolesgn2ores  27023  nosepnelem  27030  nosepdmlem  27034  nolt02o  27046  nogt01o  27047  nosupno  27054  nosupbnd1lem3  27061  nosupbnd1  27065  nosupbnd2lem1  27066  nosupbnd2  27067  ssoninhaus  34923  onint1  34924  1oequni2o  35842  finxpreclem4  35868  pw2f1ocnv  41364  frlmpwfi  41428  omnord1  41642  oege2  41644  oenord1  41653  oaomoencom  41654  oenassex  41655  oenass  41656  omabs2  41668  2no  41716  nlim3  41723  tr3dom  41807  enrelmap  42276
  Copyright terms: Public domain W3C validator