Theorem 2on 8477

Description: Ordinal 2 is an ordinal number. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) Avoid ax-un 7722. (Revised by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2on	⊢ 2o ∈ On

Proof of Theorem 2on

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8464	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1on 8475	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
3		2oex 8474	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2831	. . 3 ⊢ suc 1o ∈ V
5		sucexeloni 7794	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ suc 1o ∈ V) → suc 1o ∈ On)
6	2, 4, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ suc 1o ∈ On
7	1, 6	eqeltri 2830	1 ⊢ 2o ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  Oncon0 6362  suc csuc 6364  1_oc1o 8456  2_oc2o 8457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-1o 8463  df-2o 8464

This theorem is referenced by:  ord3  8480  3on  8481  ord2eln012  8494  o2p2e4  8538  oneo  8578  2onn  8638  nneob  8652  en3  9279  infxpenc  10010  infxpenc2  10014  mappwen  10104  pwdjuen  10173  ackbij1lem5  10216  sdom2en01  10294  fin1a2lem4  10395  fin1a2lem6  10397  xpsrnbas  17514  xpsadd  17517  xpsmul  17518  xpsvsca  17520  xpsle  17522  cat1  18044  xpsmnd  18662  xpsgrp  18939  efgval  19580  efgtf  19585  frgpcpbl  19622  frgp0  19623  frgpeccl  19624  frgpadd  19626  frgpmhm  19628  vrgpf  19631  vrgpinv  19632  frgpupf  19636  frgpup1  19638  frgpup2  19639  frgpup3lem  19640  frgpnabllem1  19736  frgpnabllem2  19737  xpsringd  20139  xpstopnlem1  23305  xpstps  23306  xpstopnlem2  23307  xpsxmetlem  23877  xpsdsval  23879  nofv  27150  sltres  27155  noextendgt  27163  nolesgn2ores  27165  nosepnelem  27172  nosepdmlem  27176  nolt02o  27188  nogt01o  27189  nosupno  27196  nosupbnd1lem3  27203  nosupbnd1  27207  nosupbnd2lem1  27208  nosupbnd2  27209  ssoninhaus  35322  onint1  35323  1oequni2o  36238  finxpreclem4  36264  pw2f1ocnv  41762  frlmpwfi  41826  omnord1  42041  oege2  42043  oenord1  42052  oaomoencom  42053  oenassex  42054  oenass  42055  omabs2  42068  oaltom  42142  omltoe  42144  2no  42174  nlim3  42181  tr3dom  42265  enrelmap  42734  xpsrngd  46667