Theorem 2sqreunnlt 27406

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two different positive integers. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreult.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreunnlt	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 2sqreunnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreunnltlem 27396	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2		2sqreult.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ 𝜑)
4	3	reubii 3360	. . . 4 ⊢ (∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
5	4	reubii 3360	. . 3 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
6	2	2sqreunnlem2 27401	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑
7		2reu1 3857	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑 → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
9	5, 8	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349  ∃*wrmo 3350   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  1c1 11048   + caddc 11050   < clt 11187  ℕcn 12165  2c2 12220  4c4 12222   mod cmo 13810  ↑cexp 14005  ℙcprime 16619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-tpos 8183  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8849  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-sup 9370  df-inf 9371  df-oi 9440  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-q 12887  df-rp 12931  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-fl 13733  df-mod 13811  df-seq 13946  df-exp 14006  df-hash 14275  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16201  df-gcd 16443  df-prm 16620  df-phi 16714  df-pc 16786  df-gz 16879  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-prds 17388  df-pws 17390  df-imas 17449  df-qus 17450  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-mhm 18694  df-submnd 18695  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-sbg 18854  df-mulg 18984  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-srg 20109  df-ring 20157  df-cring 20158  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-rhm 20394  df-nzr 20435  df-subrng 20468  df-subrg 20492  df-rlreg 20616  df-domn 20617  df-idom 20618  df-drng 20653  df-field 20654  df-lmod 20802  df-lss 20872  df-lsp 20912  df-sra 21114  df-rgmod 21115  df-lidl 21152  df-rsp 21153  df-2idl 21194  df-cnfld 21299  df-zring 21391  df-zrh 21447  df-zn 21450  df-assa 21797  df-asp 21798  df-ascl 21799  df-psr 21853  df-mvr 21854  df-mpl 21855  df-opsr 21857  df-evls 22016  df-evl 22017  df-psr1 22099  df-vr1 22100  df-ply1 22101  df-coe1 22102  df-evl1 22238  df-mdeg 25995  df-deg1 25996  df-mon1 26071  df-uc1p 26072  df-q1p 26073  df-r1p 26074  df-lgs 27241

This theorem is referenced by:  2sqreuopnnlt  27412