Theorem 2sqreunnlt 27444

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two different positive integers. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) Specialization to different integers, proposed by GL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreult.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreunnlt	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 2sqreunnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreunnltlem 27434	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2		2sqreult.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	bicomi 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ 𝜑)
4	3	reubii 3355	. . . 4 ⊢ (∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
5	4	reubii 3355	. . 3 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
6	2	2sqreunnlem2 27439	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑
7		2reu1 3830	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑 → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
9	5, 8	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
10	1, 9	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175  ℕcn 12169  2c2 12231  4c4 12233   mod cmo 13823  ↑cexp 14018  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-phi 16731  df-pc 16803  df-gz 16896  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-nzr 20488  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-rlreg 20669  df-domn 20670  df-idom 20671  df-drng 20706  df-field 20707  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-lidl 21204  df-rsp 21205  df-2idl 21246  df-cnfld 21351  df-zring 21425  df-zrh 21481  df-zn 21484  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171  df-evl1 22305  df-mdeg 26041  df-deg1 26042  df-mon1 26117  df-uc1p 26118  df-q1p 26119  df-r1p 26120  df-lgs 27279

This theorem is referenced by:  2sqreuopnnlt  27450