MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreunnltb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreunnltb 26807
Description: There exists a unique decomposition of a prime as a sum of squares of two different positive integers iff the prime is of the form 4𝑘 + 1. (Contributed by AV, 11-Jun-2023.) The prime needs not be odd, as observed by WL. (Revised by AV, 25-Jun-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
2sqreult.1 (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Assertion
Ref Expression
2sqreunnltb (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 2sqreunnltb
StepHypRef Expression
1 2sqreunnltblem 26797 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
2 2sqreult.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
32bicomi 223 . . . . 5 ((𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ 𝜑)
43reubii 3362 . . . 4 (∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
54reubii 3362 . . 3 (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑)
622sqreunnlem2 26801 . . . 4 𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑
7 2reu1 3853 . . . 4 (∀𝑎 ∈ ℕ ∃*𝑏 ∈ ℕ 𝜑 → (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))
95, 8bitri 274 . 2 (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃!𝑏 ∈ ℕ (𝑎 < 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑))
101, 9bitrdi 286 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 mod 4) = 1 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ ∃𝑎 ∈ ℕ 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  ∃*wrmo 3352   class class class wbr 5105  (class class class)co 7356  1c1 11051   + caddc 11053   < clt 11188  cn 12152  2c2 12207  4c4 12209   mod cmo 13773  cexp 13966  cprime 16546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-dvds 16136  df-gcd 16374  df-prm 16547  df-phi 16637  df-pc 16708  df-gz 16801  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-prds 17328  df-pws 17330  df-imas 17389  df-qus 17390  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-nsg 18924  df-eqg 18925  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-srg 19916  df-ring 19964  df-cring 19965  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-dvr 20110  df-rnghom 20144  df-drng 20185  df-field 20186  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-lidl 20633  df-rsp 20634  df-2idl 20700  df-nzr 20726  df-rlreg 20751  df-domn 20752  df-idom 20753  df-cnfld 20795  df-zring 20868  df-zrh 20902  df-zn 20905  df-assa 21257  df-asp 21258  df-ascl 21259  df-psr 21309  df-mvr 21310  df-mpl 21311  df-opsr 21313  df-evls 21480  df-evl 21481  df-psr1 21549  df-vr1 21550  df-ply1 21551  df-coe1 21552  df-evl1 21680  df-mdeg 25415  df-deg1 25416  df-mon1 25493  df-uc1p 25494  df-q1p 25495  df-r1p 25496  df-lgs 26641
This theorem is referenced by:  2sqreuopnnltb  26813  sq2reunnltb  31411
  Copyright terms: Public domain W3C validator