Theorem 2sqreu 26585

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. See 2sqnn0 26567 for the existence of such a decomposition. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) (Revised by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreu.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreu	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 2sqreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreulem1 26575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2		2sqreu.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	bicomi 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ 𝜑)
4	3	reubii 3323	. . . 4 ⊢ (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
5	4	reubii 3323	. . 3 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
6	2	2sqreulem4 26583	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
7		2reu1 3834	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
9	5, 8	syl5bb 282	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
10	1, 9	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  ∃!wreu 3067  ∃*wrmo 3068   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858   ≤ cle 10994  2c2 12011  4c4 12013  ℕ₀cn0 12216   mod cmo 13570  ↑cexp 13763  ℙcprime 16357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-ec 8474  df-qs 8478  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-gcd 16183  df-prm 16358  df-phi 16448  df-pc 16519  df-gz 16612  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-imas 17200  df-qus 17201  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-nsg 18734  df-eqg 18735  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-srg 19723  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-rnghom 19940  df-drng 19974  df-field 19975  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-lidl 20417  df-rsp 20418  df-2idl 20484  df-nzr 20510  df-rlreg 20535  df-domn 20536  df-idom 20537  df-cnfld 20579  df-zring 20652  df-zrh 20686  df-zn 20689  df-assa 21041  df-asp 21042  df-ascl 21043  df-psr 21093  df-mvr 21094  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-evls 21263  df-evl 21264  df-psr1 21332  df-vr1 21333  df-ply1 21334  df-coe1 21335  df-evl1 21463  df-mdeg 25198  df-deg1 25199  df-mon1 25276  df-uc1p 25277  df-q1p 25278  df-r1p 25279  df-lgs 26424

This theorem is referenced by:  2sqreuop  26591