Theorem 2sqreu 27403

Description: There exists a unique decomposition of a prime of the form 4𝑘 + 1 as a sum of squares of two nonnegative integers. See 2sqnn0 27385 for the existence of such a decomposition. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.) (Revised by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreu.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreu	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem 2sqreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreulem1 27393	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
2		2sqreu.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
3	2	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ 𝜑)
4	3	reubii 3366	. . . 4 ⊢ (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
5	4	reubii 3366	. . 3 ⊢ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
6	2	2sqreulem4 27401	. . . 4 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
7		2reu1 3870	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
9	5, 8	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑)))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ∧ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ℕ0 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3355  ∃*wrmo 3356   class class class wbr 5116  (class class class)co 7399  1c1 11122   + caddc 11124   ≤ cle 11262  2c2 12287  4c4 12289  ℕ₀cn0 12493   mod cmo 13875  ↑cexp 14068  ℙcprime 16675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200  ax-mulf 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-tpos 8219  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-oadd 8478  df-er 8713  df-ec 8715  df-qs 8719  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14337  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-dvds 16258  df-gcd 16499  df-prm 16676  df-phi 16770  df-pc 16842  df-gz 16935  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-imas 17507  df-qus 17508  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-nsg 19092  df-eqg 19093  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-dvr 20346  df-rhm 20417  df-nzr 20458  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-idom 20641  df-drng 20676  df-field 20677  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-lidl 21154  df-rsp 21155  df-2idl 21196  df-cnfld 21301  df-zring 21393  df-zrh 21449  df-zn 21452  df-assa 21798  df-asp 21799  df-ascl 21800  df-psr 21854  df-mvr 21855  df-mpl 21856  df-opsr 21858  df-evls 22017  df-evl 22018  df-psr1 22100  df-vr1 22101  df-ply1 22102  df-coe1 22103  df-evl1 22239  df-mdeg 25997  df-deg1 25998  df-mon1 26073  df-uc1p 26074  df-q1p 26075  df-r1p 26076  df-lgs 27242

This theorem is referenced by:  2sqreuop  27409