Theorem brdom 8935

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brdom	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		brdomg 8933	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  –1-1→wf1 6511   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-dom 8923

This theorem is referenced by:  domen  8936  domtr  8981  sbthlem10  9066  sbthfilem  9168  1sdomOLD  9203  ac10ct  9994  domtriomlem  10402  2ndcdisj  23350  birthdaylem3  26870