Theorem brdomg 8941

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8940 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2g 8940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
2	1	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
3		reldom 8935	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		f1f 6762	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
6		fdm 6703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7		vex 3460	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	dmex 7892	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
9	6, 8	eqeltrrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	exlimiv 1952	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12	4, 11	pm5.21ni 379	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
13	12	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
14	2, 13	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  –1-1→wf1 6520   ≼ cdom 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-dm 5659  df-rn 5660  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-dom 8931

This theorem is referenced by:  brdom  8943  f1dom3g  8950  f1domg  8954  dom3d  8977  domdifsn  9034  fidomtri  9953  hashdom  14394  hashge3el3dif  14502  sizusglecusg  29666  erdsze2lem1  35558  hashnexinj  42750