Theorem brdomg 8961

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8960 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2g 8960	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
2	1	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
3		reldom 8955	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		f1f 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
6		fdm 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	dmex 7912	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
9	6, 8	eqeltrrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12	4, 11	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
13	12	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
14	2, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537   ≼ cdom 8947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-dom 8951

This theorem is used by:  brdom  8963  f1dom3g  8970  f1domg  8974  dom3d  8997  domdifsn  9055  fidomtri  9995  hashdom  14437  hashge3el3dif  14546  sizusglecusg  29875  erdsze2lem1  35736  hashnexinj  42957