Theorem brdomg 8997

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8996 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2g 8996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
3		reldom 8991	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5741	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		f1f 6804	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
6		fdm 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	dmex 7931	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
9	6, 8	eqeltrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12	4, 11	pm5.21ni 377	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
13	12	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
14	2, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  brdomiOLD  9000  brdom  9001  f1dom3g  9008  f1domg  9012  dom3d  9034  domdifsn  9094  fidomtri  10033  hashdom  14418  hashge3el3dif  14526  sizusglecusg  29481  erdsze2lem1  35208  hashnexinj  42129