MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomg 8558
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 6564 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝑦))
21exbidv 1927 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦))
3 f1eq3 6565 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝐵))
43exbidv 1927 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
5 df-dom 8550 . . . 4 ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦}
62, 4, 5brabg 5391 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
76ex 416 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
8 reldom 8554 . . . . 5 Rel ≼
98brrelex1i 5573 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
10 f1f 6568 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
11 fdm 6507 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
12 vex 3401 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1312dmex 7635 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
1411, 13eqeltrrdi 2842 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
1510, 14syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1615exlimiv 1936 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
179, 16pm5.21ni 382 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1817a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
197, 18pm2.61i 185 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027  dom cdm 5519  wf 6329  1-1wf1 6330  cdom 8546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-dom 8550
This theorem is referenced by:  brdomi  8559  brdom  8560  f1dom2g  8566  f1domg  8568  dom3d  8590  domdifsn  8642  fidomtri  9488  hashdom  13825  hashge3el3dif  13931  sizusglecusg  27397  erdsze2lem1  32728
  Copyright terms: Public domain W3C validator