Theorem brdomg 8907

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8906 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2g 8906	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
3		reldom 8901	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
5		f1f 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
6		fdm 6679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	dmex 7861	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
9	6, 8	eqeltrrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
12	4, 11	pm5.21ni 377	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
13	12	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
14	2, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497   ≼ cdom 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-dom 8897

This theorem is referenced by:  brdom  8909  f1dom3g  8916  f1domg  8920  dom3d  8943  domdifsn  9000  fidomtri  9917  hashdom  14314  hashge3el3dif  14422  sizusglecusg  29553  erdsze2lem1  35423  hashnexinj  42502