MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomg 8170
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 6279 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝑦))
21exbidv 2016 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦))
3 f1eq3 6280 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝐵))
43exbidv 2016 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
5 df-dom 8162 . . . 4 ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦}
62, 4, 5brabg 5155 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
76ex 401 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
8 reldom 8166 . . . . 5 Rel ≼
98brrelex1i 5328 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
10 f1f 6283 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
11 fdm 6231 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
12 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1312dmex 7297 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
1411, 13syl6eqelr 2853 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
1510, 14syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1615exlimiv 2025 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
179, 16pm5.21ni 368 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1817a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
197, 18pm2.61i 176 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  wf 6064  1-1wf1 6065  cdom 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-dom 8162
This theorem is referenced by:  brdomi  8171  brdom  8172  f1dom2g  8178  f1domg  8180  dom3d  8202  domdifsn  8250  fidomtri  9070  hashdom  13370  hashge3el3dif  13469  sizusglecusg  26650  erdsze2lem1  31633
  Copyright terms: Public domain W3C validator