Theorem brdomg 8502

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6545	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
2	1	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
3		f1eq3 6546	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	3	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5		df-dom 8494	. . . 4 ⊢ ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦}
6	2, 4, 5	brabg 5391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
7	6	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
8		reldom 8498	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
9	8	brrelex1i 5572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10		f1f 6549	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
11		fdm 6495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
12		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	dmex 7598	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
14	11, 13	eqeltrrdi 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
15	10, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
16	15	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
17	9, 16	pm5.21ni 382	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
18	17	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
19	7, 18	pm2.61i 185	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  brdomi  8503  brdom  8504  f1dom2g  8510  f1domg  8512  dom3d  8534  domdifsn  8583  fidomtri  9406  hashdom  13736  hashge3el3dif  13840  sizusglecusg  27253  erdsze2lem1  32563