MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomg 8954
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8953 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
StepHypRef Expression
1 brdom2g 8953 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
21ex 411 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
3 reldom 8947 . . . . 5 Rel ≼
43brrelex1i 5731 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 f1f 6786 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
6 fdm 6725 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7 vex 3476 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
87dmex 7904 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
96, 8eqeltrrdi 2840 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110exlimiv 1931 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
124, 11pm5.21ni 376 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1312a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
142, 13pm2.61i 182 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wex 1779  wcel 2104  Vcvv 3472   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  wf 6538  1-1wf1 6539  cdom 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-dom 8943
This theorem is referenced by:  brdomiOLD  8957  brdom  8958  f1dom3g  8965  f1dom2gOLD  8968  f1domg  8970  dom3d  8992  domdifsn  9056  fidomtri  9990  hashdom  14343  hashge3el3dif  14451  sizusglecusg  28987  erdsze2lem1  34492
  Copyright terms: Public domain W3C validator