MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomg 8949
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8948 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
StepHypRef Expression
1 brdom2g 8948 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
21ex 414 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
3 reldom 8942 . . . . 5 Rel ≼
43brrelex1i 5731 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 f1f 6785 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
6 fdm 6724 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
87dmex 7899 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
96, 8eqeltrrdi 2843 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110exlimiv 1934 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
124, 11pm5.21ni 379 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1312a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
142, 13pm2.61i 182 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  wf 6537  1-1wf1 6538  cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-dom 8938
This theorem is referenced by:  brdomiOLD  8952  brdom  8953  f1dom3g  8960  f1dom2gOLD  8963  f1domg  8965  dom3d  8987  domdifsn  9051  fidomtri  9985  hashdom  14336  hashge3el3dif  14444  sizusglecusg  28710  erdsze2lem1  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator