MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomg 8996
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Extract brdom2g 8995 as an intermediate result. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
StepHypRef Expression
1 brdom2g 8995 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
21ex 412 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
3 reldom 8990 . . . . 5 Rel ≼
43brrelex1i 5745 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 f1f 6805 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
6 fdm 6746 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
7 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
87dmex 7932 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
96, 8eqeltrrdi 2848 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110exlimiv 1928 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
124, 11pm5.21ni 377 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1312a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
142, 13pm2.61i 182 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  1-1wf1 6560  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-dom 8986
This theorem is referenced by:  brdomiOLD  8999  brdom  9000  f1dom3g  9007  f1domg  9011  dom3d  9033  domdifsn  9093  fidomtri  10031  hashdom  14415  hashge3el3dif  14523  sizusglecusg  29496  erdsze2lem1  35188  hashnexinj  42110
  Copyright terms: Public domain W3C validator