birthdaylem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > birthdaylem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem birthdaylem3 27230

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

**Assertion**
Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐾 𝑓,𝑁 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑓) 𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2		abn0 4334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	brdom 8966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
5	2, 4	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6		hashfz1 14443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7		nnnn0 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		hashfz1 14443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	6, 9	breqan12d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11		fzfid 14070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12		fzfid 14070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13		hashdom 14476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15		nn0re 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
16		nnre 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		lenlt 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
19	10, 14, 18	3bitr3d 312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
20	5, 19	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
21	20	necon4abid 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
22	21	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
24	23	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25		hash0 14464	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
27	26	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
29	28, 1	birthdaylem1 27228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
30	29	simp3i 1159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
32	29	simp2i 1158	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
33		hashnncl 14463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
35	31, 34	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12306	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
37	35	nnne0d 12343	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
38	36, 37	div0d 12047	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
39	27, 38	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
40	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
42	41, 40	resubcld 11699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44		nndivre 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylancom 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
47	46	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
48	47	rpefcld 16226	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
49	48	rpge0d 13123	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
50	39, 49	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
53		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
54		nn0uz 12958	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
55	53, 54	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
56		nnz 12669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		elfz5 13603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
60	52, 59	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
61	28, 1	birthdaylem2 27229	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
62	51, 60, 61	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63		fzfid 14070	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64		elfznn0 13708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
65	64	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
66	65	nn0red 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	53	nn0red 12623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68		peano2rem 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73		elfzle2 13615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
75	51	nnred 12305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	67	ltm1d 12204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
78	77	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
80	71	nncnd 12306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	mulridd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
82	79, 81	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83		1red 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
84	71	nngt0d 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85		ltdivmul 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
87	82, 86	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
88	66, 71	nndivred 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89		1re 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
90		difrp 13115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
91	88, 89, 90	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
92	87, 91	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
93	92	relogcld 26900	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	88	renegcld 11698	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95		elfzle1 13614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
96	95	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97		divge0 12141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
99	88, 98, 87	eflegeo 16242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
100	88	reefcld 16207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101		efgt0 16224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
102	88, 101	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
103	92	rpregt0d 13125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104		lerec2 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
106	99, 105	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
107	92	reeflogd 26901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
108	88	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109		efneg 16219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110	108, 109	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111	106, 107, 110	3brtr4d 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112		efle 16239	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
113	93, 94, 112	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114	111, 113	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
115	63, 93, 94, 114	fsumle 15919	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
116	63, 108	fsumneg 15906	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
117	51	nncnd 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
118	66	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119		nnne0 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120	119	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 15905	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122		arisum2 15983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
123	53, 122	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124	123	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125	121, 124	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126	125	negeqd 11508	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127	116, 126	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128	115, 127	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
129	63, 93	fsumrecl 15853	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
130	46	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131		efle 16239	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132	129, 130, 131	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133	128, 132	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
134	62, 133	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
135	16	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 11375	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 {cab 2738 ≠ wne 2955 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 class class class wbr 5103 ⟶wf 6524 –1-1→wf1 6525 ‘cfv 6528 (class class class)co 7409 ≼ cdom 8950 Fincfn 8952 ℂcc 11155 ℝcr 11156 0cc0 11157 1c1 11158 · cmul 11162 < clt 11300 ≤ cle 11301 − cmin 11498 -cneg 11499 / cdiv 11928 ℕcn 12290 2c2 12352 ℕ₀cn0 12561 ℤcz 12648 ℤ_≥cuz 12920 ℝ⁺crp 13075 ...cfz 13594 ↑cexp 14158 ♯chash 14427 Σcsu 15806 expce 16180 logclog 26831

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7735 ax-inf2 9620 ax-cnex 11213 ax-resscn 11214 ax-1cn 11215 ax-icn 11216 ax-addcl 11217 ax-addrcl 11218 ax-mulcl 11219 ax-mulrcl 11220 ax-mulcom 11221 ax-addass 11222 ax-mulass 11223 ax-distr 11224 ax-i2m1 11225 ax-1ne0 11226 ax-1rid 11227 ax-rnegex 11228 ax-rrecex 11229 ax-cnre 11230 ax-pre-lttri 11231 ax-pre-lttrn 11232 ax-pre-ltadd 11233 ax-pre-mulgt0 11234 ax-pre-sup 11235 ax-addf 11236

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5543 df-eprel 5548 df-po 5556 df-so 5557 df-fr 5601 df-se 5602 df-we 5603 df-xp 5654 df-rel 5655 df-cnv 5656 df-co 5657 df-dm 5658 df-rn 5659 df-res 5660 df-ima 5661 df-pred 6294 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6530 df-fn 6531 df-f 6532 df-f1 6533 df-fo 6534 df-f1o 6535 df-fv 6536 df-isom 6537 df-riota 7366 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7677 df-om 7862 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8157 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8455 df-2o 8456 df-oadd 8459 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8905 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-fsupp 9332 df-fi 9381 df-sup 9412 df-inf 9413 df-oi 9482 df-dju 9939 df-card 9977 df-pnf 11302 df-mnf 11303 df-xr 11304 df-ltxr 11305 df-le 11306 df-sub 11500 df-neg 11501 df-div 11929 df-nn 12291 df-2 12360 df-3 12361 df-4 12362 df-5 12363 df-6 12364 df-7 12365 df-8 12366 df-9 12367 df-n0 12562 df-xnn0 12635 df-z 12649 df-dec 12770 df-uz 12921 df-q 13031 df-rp 13076 df-xneg 13196 df-xadd 13197 df-xmul 13198 df-ioo 13435 df-ioc 13436 df-ico 13437 df-icc 13438 df-fz 13595 df-fzo 13743 df-fl 13886 df-mod 13964 df-seq 14099 df-exp 14159 df-fac 14371 df-bc 14400 df-hash 14428 df-shft 15173 df-cj 15219 df-re 15220 df-im 15221 df-sqrt 15355 df-abs 15356 df-limsup 15591 df-clim 15608 df-rlim 15609 df-sum 15807 df-ef 16186 df-sin 16188 df-cos 16189 df-pi 16191 df-struct 17272 df-sets 17289 df-slot 17307 df-ndx 17319 df-base 17335 df-ress 17356 df-plusg 17388 df-mulr 17389 df-starv 17390 df-sca 17391 df-vsca 17392 df-ip 17393 df-tset 17394 df-ple 17395 df-ds 17397 df-unif 17398 df-hom 17399 df-cco 17400 df-rest 17540 df-topn 17541 df-0g 17559 df-gsum 17560 df-topgen 17561 df-pt 17562 df-prds 17565 df-xrs 17621 df-qtop 17626 df-imas 17627 df-xps 17629 df-mre 17703 df-mrc 17704 df-acs 17706 df-mgm 18763 df-sgrp 18855 df-mnd 18871 df-submnd 18926 df-mulg 19225 df-cntz 19478 df-cmn 19943 df-psmet 21617 df-xmet 21618 df-met 21619 df-bl 21620 df-mopn 21621 df-fbas 21622 df-fg 21623 df-cnfld 21626 df-top 23159 df-topon 23176 df-topsp 23198 df-bases 23211 df-cld 23284 df-ntr 23285 df-cls 23286 df-nei 23363 df-lp 23401 df-perf 23402 df-cn 23492 df-cnp 23493 df-haus 23580 df-tx 23828 df-hmeo 24021 df-fil 24112 df-fm 24204 df-flim 24205 df-flf 24206 df-xms 24586 df-ms 24587 df-tms 24588 df-cncf 25146 df-limc 26133 df-dv 26134 df-log 26833

This theorem is used by: birthday 27231

W3C validator