birthdaylem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem birthdaylem3 26897

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

**Assertion**
Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐾 𝑓,𝑁 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑓) 𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2		abn0 4344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3		ovex 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	brdom 8909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
5	2, 4	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6		hashfz1 14289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7		nnnn0 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		hashfz1 14289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	6, 9	breqan12d 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11		fzfid 13916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12		fzfid 13916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13		hashdom 14322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15		nn0re 12429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
16		nnre 12171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		lenlt 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
19	10, 14, 18	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
20	5, 19	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
21	20	necon4abid 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
22	21	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
24	23	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25		hash0 14310	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
27	26	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
29	28, 1	birthdaylem1 26895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
30	29	simp3i 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
32	29	simp2i 1140	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
33		hashnncl 14309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
35	31, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12180	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
37	35	nnne0d 12214	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
38	36, 37	div0d 11935	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
39	27, 38	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
40	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
42	41, 40	resubcld 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44		nndivre 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
48	47	rpefcld 16050	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
49	48	rpge0d 12977	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
50	39, 49	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
53		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
54		nn0uz 12813	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
55	53, 54	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
56		nnz 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		elfz5 13455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
60	52, 59	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
61	28, 1	birthdaylem2 26896	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
62	51, 60, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63		fzfid 13916	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64		elfznn0 13559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
66	65	nn0red 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	53	nn0red 12482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68		peano2rem 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73		elfzle2 13467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
75	51	nnred 12179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	67	ltm1d 12093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
80	71	nncnd 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	mulridd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
82	79, 81	breqtrrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83		1red 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
84	71	nngt0d 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85		ltdivmul 12036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
87	82, 86	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
88	66, 71	nndivred 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89		1re 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
90		difrp 12969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
91	88, 89, 90	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
92	87, 91	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
93	92	relogcld 26566	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	88	renegcld 11583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95		elfzle1 13466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97		divge0 12030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
99	88, 98, 87	eflegeo 16066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
100	88	reefcld 16031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101		efgt0 16048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
102	88, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
103	92	rpregt0d 12979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104		lerec2 12049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
106	99, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
107	92	reeflogd 26567	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
108	88	recnd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109		efneg 16043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111	106, 107, 110	3brtr4d 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112		efle 16063	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
113	93, 94, 112	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114	111, 113	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
115	63, 93, 94, 114	fsumle 15742	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
116	63, 108	fsumneg 15730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
117	51	nncnd 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
118	66	recnd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119		nnne0 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120	119	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 15729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122		arisum2 15804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
123	53, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124	123	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125	121, 124	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126	125	negeqd 11393	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127	116, 126	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128	115, 127	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
129	63, 93	fsumrecl 15677	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
130	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131		efle 16063	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132	129, 130, 131	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133	128, 132	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
134	62, 133	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
135	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 11260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 {cab 2707 ≠ wne 2925 ⊆ wss 3911 ∅c0 4292 class class class wbr 5102 ⟶wf 6495 –1-1→wf1 6496 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ≼ cdom 8893 Fincfn 8895 ℂcc 11044 ℝcr 11045 0cc0 11046 1c1 11047 · cmul 11051 < clt 11186 ≤ cle 11187 − cmin 11383 -cneg 11384 / cdiv 11813 ℕcn 12164 2c2 12219 ℕ₀cn0 12420 ℤcz 12507 ℤ_≥cuz 12771 ℝ⁺crp 12929 ...cfz 13446 ↑cexp 14004 ♯chash 14273 Σcsu 15629 expce 16004 logclog 26497

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-inf2 9572 ax-cnex 11102 ax-resscn 11103 ax-1cn 11104 ax-icn 11105 ax-addcl 11106 ax-addrcl 11107 ax-mulcl 11108 ax-mulrcl 11109 ax-mulcom 11110 ax-addass 11111 ax-mulass 11112 ax-distr 11113 ax-i2m1 11114 ax-1ne0 11115 ax-1rid 11116 ax-rnegex 11117 ax-rrecex 11118 ax-cnre 11119 ax-pre-lttri 11120 ax-pre-lttrn 11121 ax-pre-ltadd 11122 ax-pre-mulgt0 11123 ax-pre-sup 11124 ax-addf 11125

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-dju 9832 df-card 9870 df-pnf 11188 df-mnf 11189 df-xr 11190 df-ltxr 11191 df-le 11192 df-sub 11385 df-neg 11386 df-div 11814 df-nn 12165 df-2 12227 df-3 12228 df-4 12229 df-5 12230 df-6 12231 df-7 12232 df-8 12233 df-9 12234 df-n0 12421 df-xnn0 12494 df-z 12508 df-dec 12628 df-uz 12772 df-q 12886 df-rp 12930 df-xneg 13050 df-xadd 13051 df-xmul 13052 df-ioo 13288 df-ioc 13289 df-ico 13290 df-icc 13291 df-fz 13447 df-fzo 13594 df-fl 13732 df-mod 13810 df-seq 13945 df-exp 14005 df-fac 14217 df-bc 14246 df-hash 14274 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15414 df-clim 15431 df-rlim 15432 df-sum 15630 df-ef 16010 df-sin 16012 df-cos 16013 df-pi 16015 df-struct 17094 df-sets 17111 df-slot 17129 df-ndx 17141 df-base 17157 df-ress 17178 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-rest 17362 df-topn 17363 df-0g 17381 df-gsum 17382 df-topgen 17383 df-pt 17384 df-prds 17387 df-xrs 17442 df-qtop 17447 df-imas 17448 df-xps 17450 df-mre 17524 df-mrc 17525 df-acs 17527 df-mgm 18550 df-sgrp 18629 df-mnd 18645 df-submnd 18694 df-mulg 18983 df-cntz 19232 df-cmn 19697 df-psmet 21289 df-xmet 21290 df-met 21291 df-bl 21292 df-mopn 21293 df-fbas 21294 df-fg 21295 df-cnfld 21298 df-top 22815 df-topon 22832 df-topsp 22854 df-bases 22867 df-cld 22940 df-ntr 22941 df-cls 22942 df-nei 23019 df-lp 23057 df-perf 23058 df-cn 23148 df-cnp 23149 df-haus 23236 df-tx 23483 df-hmeo 23676 df-fil 23767 df-fm 23859 df-flim 23860 df-flf 23861 df-xms 24242 df-ms 24243 df-tms 24244 df-cncf 24805 df-limc 25801 df-dv 25802 df-log 26499

This theorem is referenced by: birthday 26898

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