birthdaylem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem birthdaylem3 26863

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

**Assertion**
Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐾 𝑓,𝑁 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑓) 𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2		abn0 4348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	brdom 8932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
5	2, 4	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6		hashfz1 14311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7		nnnn0 12449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		hashfz1 14311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	6, 9	breqan12d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11		fzfid 13938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12		fzfid 13938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13		hashdom 14344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
16		nnre 12193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		lenlt 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
19	10, 14, 18	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
20	5, 19	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
21	20	necon4abid 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
22	21	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
24	23	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25		hash0 14332	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
27	26	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
29	28, 1	birthdaylem1 26861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
30	29	simp3i 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
32	29	simp2i 1140	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
33		hashnncl 14331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
35	31, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12202	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
37	35	nnne0d 12236	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
38	36, 37	div0d 11957	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
39	27, 38	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
40	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
42	41, 40	resubcld 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44		nndivre 12227	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
48	47	rpefcld 16073	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
49	48	rpge0d 12999	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
50	39, 49	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
53		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
54		nn0uz 12835	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
55	53, 54	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
56		nnz 12550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		elfz5 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
60	52, 59	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
61	28, 1	birthdaylem2 26862	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
62	51, 60, 61	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63		fzfid 13938	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64		elfznn0 13581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
66	65	nn0red 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	53	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68		peano2rem 11489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73		elfzle2 13489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
75	51	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	67	ltm1d 12115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
80	71	nncnd 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	mulridd 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
82	79, 81	breqtrrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83		1red 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
84	71	nngt0d 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85		ltdivmul 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
87	82, 86	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
88	66, 71	nndivred 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89		1re 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
90		difrp 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
91	88, 89, 90	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
92	87, 91	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
93	92	relogcld 26532	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	88	renegcld 11605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95		elfzle1 13488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97		divge0 12052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
99	88, 98, 87	eflegeo 16089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
100	88	reefcld 16054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101		efgt0 16071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
102	88, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
103	92	rpregt0d 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104		lerec2 12071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
106	99, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
107	92	reeflogd 26533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
108	88	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109		efneg 16066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111	106, 107, 110	3brtr4d 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112		efle 16086	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
113	93, 94, 112	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114	111, 113	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
115	63, 93, 94, 114	fsumle 15765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
116	63, 108	fsumneg 15753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
117	51	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
118	66	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119		nnne0 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120	119	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 15752	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122		arisum2 15827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
123	53, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124	123	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125	121, 124	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126	125	negeqd 11415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127	116, 126	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128	115, 127	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
129	63, 93	fsumrecl 15700	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
130	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131		efle 16086	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132	129, 130, 131	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133	128, 132	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
134	62, 133	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
135	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 11282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∃wex 1779 ∈ wcel 2109 {cab 2707 ≠ wne 2925 ⊆ wss 3914 ∅c0 4296 class class class wbr 5107 ⟶wf 6507 –1-1→wf1 6508 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ≼ cdom 8916 Fincfn 8918 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 · cmul 11073 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℤ_≥cuz 12793 ℝ⁺crp 12951 ...cfz 13468 ↑cexp 14026 ♯chash 14295 Σcsu 15652 expce 16027 logclog 26463

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-inf2 9594 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146 ax-addf 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-se 5592 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-isom 6520 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-of 7653 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8140 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-oadd 8438 df-er 8671 df-map 8801 df-pm 8802 df-ixp 8871 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-fsupp 9313 df-fi 9362 df-sup 9393 df-inf 9394 df-oi 9463 df-dju 9854 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-xnn0 12516 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-ioo 13310 df-ioc 13311 df-ico 13312 df-icc 13313 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15033 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-limsup 15437 df-clim 15454 df-rlim 15455 df-sum 15653 df-ef 16033 df-sin 16035 df-cos 16036 df-pi 16038 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17465 df-qtop 17470 df-imas 17471 df-xps 17473 df-mre 17547 df-mrc 17548 df-acs 17550 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-submnd 18711 df-mulg 19000 df-cntz 19249 df-cmn 19712 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-fbas 21261 df-fg 21262 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-cld 22906 df-ntr 22907 df-cls 22908 df-nei 22985 df-lp 23023 df-perf 23024 df-cn 23114 df-cnp 23115 df-haus 23202 df-tx 23449 df-hmeo 23642 df-fil 23733 df-fm 23825 df-flim 23826 df-flf 23827 df-xms 24208 df-ms 24209 df-tms 24210 df-cncf 24771 df-limc 25767 df-dv 25768 df-log 26465

This theorem is referenced by: birthday 26864

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