Theorem birthdaylem3 26448

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2		abn0 4380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	brdom 8953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
5	2, 4	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6		hashfz1 14303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7		nnnn0 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		hashfz1 14303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	6, 9	breqan12d 5164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13		hashdom 14336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15		nn0re 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		nnre 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		lenlt 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
19	10, 14, 18	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
20	5, 19	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
21	20	necon4abid 2982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
22	21	biimpar 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
24	23	fveq2d 6893	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25		hash0 14324	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
27	26	oveq1d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
29	28, 1	birthdaylem1 26446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
30	29	simp3i 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
31	30	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
32	29	simp2i 1141	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
33		hashnncl 14323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
35	31, 34	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12225	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
37	35	nnne0d 12259	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
38	36, 37	div0d 11986	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
39	27, 38	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
40	15	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
42	41, 40	resubcld 11639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44		nndivre 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
47	46	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
48	47	rpefcld 16045	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
49	48	rpge0d 13017	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
50	39, 49	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
53		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54		nn0uz 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
55	53, 54	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
56		nnz 12576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		elfz5 13490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
60	52, 59	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
61	28, 1	birthdaylem2 26447	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
62	51, 60, 61	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63		fzfid 13935	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64		elfznn0 13591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
65	64	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
66	65	nn0red 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	53	nn0red 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68		peano2rem 11524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71	51	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73		elfzle2 13502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
74	73	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
75	51	nnred 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	67	ltm1d 12143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
78	77	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
80	71	nncnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	mulridd 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
82	79, 81	breqtrrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83		1red 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
84	71	nngt0d 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85		ltdivmul 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
87	82, 86	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
88	66, 71	nndivred 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89		1re 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
90		difrp 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
91	88, 89, 90	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
92	87, 91	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
93	92	relogcld 26123	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	88	renegcld 11638	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95		elfzle1 13501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
96	95	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97		divge0 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
99	88, 98, 87	eflegeo 16061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
100	88	reefcld 16028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101		efgt0 16043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
102	88, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
103	92	rpregt0d 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104		lerec2 12099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
106	99, 105	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
107	92	reeflogd 26124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
108	88	recnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109		efneg 16038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111	106, 107, 110	3brtr4d 5180	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112		efle 16058	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
113	93, 94, 112	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114	111, 113	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
115	63, 93, 94, 114	fsumle 15742	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
116	63, 108	fsumneg 15730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
117	51	nncnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
118	66	recnd 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119		nnne0 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120	119	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 15729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122		arisum2 15804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
123	53, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124	123	oveq1d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125	121, 124	eqtr3d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126	125	negeqd 11451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127	116, 126	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128	115, 127	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
129	63, 93	fsumrecl 15677	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
130	46	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131		efle 16058	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132	129, 130, 131	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133	128, 132	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
134	62, 133	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
135	16	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 11319	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ≼ cdom 8934  Fincfn 8936  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℕcn 12209  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ℝ⁺crp 12971  ...cfz 13481  ↑cexp 14024  ♯chash 14287  Σcsu 15629  expce 16002  logclog 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057

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