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Theorem birthdaylem3 26801
Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟢(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)}
2 abn0 4372 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁))
3 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
43brdom 8952 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝐾) β‰Ό (1...𝑁) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁))
52, 4bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)} β‰  βˆ… ↔ (1...𝐾) β‰Ό (1...𝑁))
6 hashfz1 14303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝐾)) = 𝐾)
7 nnnn0 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 hashfz1 14303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑁)) = 𝑁)
106, 9breqan12d 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...𝐾)) ≀ (β™―β€˜(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
11 fzfid 13935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
12 fzfid 13935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
13 hashdom 14336 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜(1...𝐾)) ≀ (β™―β€˜(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) β‰Ό (1...𝑁)))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...𝐾)) ≀ (β™―β€˜(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) β‰Ό (1...𝑁)))
15 nn0re 12478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
16 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
17 lenlt 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 𝐾))
1815, 16, 17syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 𝐾))
1910, 14, 183bitr3d 309 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((1...𝐾) β‰Ό (1...𝑁) ↔ Β¬ 𝑁 < 𝐾))
205, 19bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)} β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝑁 < 𝐾))
2120necon4abid 2973 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)} = βˆ… ↔ 𝑁 < 𝐾))
2221biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1β†’(1...𝑁)} = βˆ…)
231, 22eqtrid 2776 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ 𝑇 = βˆ…)
2423fveq2d 6885 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‡) = (β™―β€˜βˆ…))
25 hash0 14324 . . . . . 6 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2624, 25eqtrdi 2780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‡) = 0)
2726oveq1d 7416 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) = (0 / (β™―β€˜π‘†)))
28 birthday.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟢(1...𝑁)}
2928, 1birthdaylem1 26799 . . . . . . . . 9 (𝑇 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑆 β‰  βˆ…))
3029simp3i 1138 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
3130ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
3229simp2i 1137 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ Fin
33 hashnncl 14323 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘†) ∈ β„• ↔ 𝑆 β‰  βˆ…)
3531, 34sylibr 233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„•)
3635nncnd 12225 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘†) ∈ β„‚)
3735nnne0d 12259 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘†) β‰  0)
3836, 37div0d 11986 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (0 / (β™―β€˜π‘†)) = 0)
3927, 38eqtrd 2764 . . 3 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) = 0)
4015adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
4140resqcld 14087 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐾↑2) ∈ ℝ)
4241, 40resubcld 11639 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 12456 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44 nndivre 12250 . . . . . . . 8 (((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4543, 44sylancom 587 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4645renegcld 11638 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4847rpefcld 16045 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 13017 . . 3 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ 0 ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
5039, 49eqbrtrd 5160 . 2 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝑁 < 𝐾) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51 simplr 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
52 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
53 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
54 nn0uz 12861 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5553, 54eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
56 nnz 12576 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5756ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
58 elfz5 13490 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
6052, 59mpbird 257 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
6128, 1birthdaylem2 26800 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))))
6251, 60, 61syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))))
63 fzfid 13935 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
64 elfznn0 13591 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6665nn0red 12530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6753nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
68 peano2rem 11524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7151adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7271nnred 12224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
73 elfzle2 13502 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ≀ (𝐾 βˆ’ 1))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ≀ (𝐾 βˆ’ 1))
7551nnred 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7667ltm1d 12143 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) < 𝐾)
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) < 𝑁)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) < 𝑁)
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 11369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ < 𝑁)
8071nncnd 12225 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8180mulridd 11228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
8279, 81breqtrrd 5166 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ < (𝑁 Β· 1))
83 1red 11212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
8471nngt0d 12258 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 0 < 𝑁)
85 ltdivmul 12086 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ ((π‘˜ / 𝑁) < 1 ↔ π‘˜ < (𝑁 Β· 1)))
8666, 83, 72, 84, 85syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ / 𝑁) < 1 ↔ π‘˜ < (𝑁 Β· 1)))
8782, 86mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ / 𝑁) < 1)
8866, 71nndivred 12263 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ / 𝑁) ∈ ℝ)
89 1re 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
90 difrp 13009 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ / 𝑁) < 1 ↔ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9188, 89, 90sylancl 585 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ / 𝑁) < 1 ↔ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ+)
9392relogcld 26473 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ∈ ℝ)
9488renegcld 11638 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ -(π‘˜ / 𝑁) ∈ ℝ)
95 elfzle1 13501 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ π‘˜)
97 divge0 12080 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘˜) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / 𝑁))
9866, 96, 72, 84, 97syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / 𝑁))
9988, 98, 87eflegeo 16061 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))))
10088reefcld 16028 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ)
101 efgt0 16043 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ / 𝑁) ∈ ℝ β†’ 0 < (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 0 < (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)))
10392rpregt0d 13019 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))))
104 lerec2 12099 . . . . . . . . . 10 ((((expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁))) ∧ ((1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) β†’ ((expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ↔ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)))))
105100, 102, 103, 104syl21anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ↔ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁)))))
10699, 105mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)) ≀ (1 / (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁))))
10792reeflogd 26474 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) = (1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))
10888recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ / 𝑁) ∈ β„‚)
109 efneg 16038 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ / 𝑁) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(π‘˜ / 𝑁)) = (1 / (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (expβ€˜-(π‘˜ / 𝑁)) = (1 / (expβ€˜(π‘˜ / 𝑁))))
111106, 107, 1103brtr4d 5170 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-(π‘˜ / 𝑁)))
112 efle 16058 . . . . . . . 8 (((logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(π‘˜ / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -(π‘˜ / 𝑁) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-(π‘˜ / 𝑁))))
11393, 94, 112syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -(π‘˜ / 𝑁) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-(π‘˜ / 𝑁))))
114111, 113mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -(π‘˜ / 𝑁))
11563, 93, 94, 114fsumle 15742 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))-(π‘˜ / 𝑁))
11663, 108fsumneg 15730 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))-(π‘˜ / 𝑁) = -Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(π‘˜ / 𝑁))
11751nncnd 12225 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
11866recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
119 nnne0 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
120119ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 β‰  0)
12163, 117, 118, 120fsumdivc 15729 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘˜ / 𝑁) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(π‘˜ / 𝑁))
122 arisum2 15804 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘˜ = (((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2))
12353, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘˜ = (((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2))
124123oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘˜ / 𝑁) = ((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))
125121, 124eqtr3d 2766 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(π‘˜ / 𝑁) = ((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))
126125negeqd 11451 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ -Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(π‘˜ / 𝑁) = -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))
127116, 126eqtrd 2764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))-(π‘˜ / 𝑁) = -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))
128115, 127breqtrd 5164 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))
12963, 93fsumrecl 15677 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ∈ ℝ)
13046adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131 efle 16058 . . . . 5 ((Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132129, 130, 131syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁))) ≀ -((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133128, 132mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(logβ€˜(1 βˆ’ (π‘˜ / 𝑁)))) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13462, 133eqbrtrd 5160 . 2 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13516adantl 481 . 2 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13650, 134, 135, 40ltlecasei 11319 1 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜π‘‡) / (β™―β€˜π‘†)) ≀ (expβ€˜-((((𝐾↑2) βˆ’ 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2701   β‰  wne 2932   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314   class class class wbr 5138  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   β‰Ό cdom 8933  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  β„+crp 12971  ...cfz 13481  β†‘cexp 14024  β™―chash 14287  Ξ£csu 15629  expce 16002  logclog 26405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407
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