birthdaylem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem birthdaylem3 26936

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

**Assertion**
Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝑓,𝐾 𝑓,𝑁 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑓) 𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2		abn0 4339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3		ovex 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	brdom 8911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
5	2, 4	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6		hashfz1 14283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7		nnnn0 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		hashfz1 14283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	6, 9	breqan12d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
11		fzfid 13910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12		fzfid 13910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13		hashdom 14316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
14	11, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15		nn0re 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
16		nnre 12166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		lenlt 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
19	10, 14, 18	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
20	5, 19	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
21	20	necon4abid 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
22	21	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
23	1, 22	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
24	23	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25		hash0 14304	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
27	26	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28		birthday.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
29	28, 1	birthdaylem1 26934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
30	29	simp3i 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
31	30	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
32	29	simp2i 1141	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
33		hashnncl 14303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
35	31, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
36	35	nncnd 12175	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
37	35	nnne0d 12209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
38	36, 37	div0d 11930	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
39	27, 38	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
40	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
42	41, 40	resubcld 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44		nndivre 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
46	45	renegcld 11578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
48	47	rpefcld 16044	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
49	48	rpge0d 12967	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
50	39, 49	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
53		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
54		nn0uz 12803	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
55	53, 54	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0))
56		nnz 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		elfz5 13446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
60	52, 59	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
61	28, 1	birthdaylem2 26935	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
62	51, 60, 61	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63		fzfid 13910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64		elfznn0 13550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
66	65	nn0red 12477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
67	53	nn0red 12477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68		peano2rem 11462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
72	71	nnred 12174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73		elfzle2 13458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
75	51	nnred 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
76	67	ltm1d 12088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
77	69, 67, 75, 76, 52	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
79	66, 70, 72, 74, 78	lelttrd 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
80	71	nncnd 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	mulridd 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
82	79, 81	breqtrrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83		1red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
84	71	nngt0d 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85		ltdivmul 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
86	66, 83, 72, 84, 85	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
87	82, 86	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
88	66, 71	nndivred 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89		1re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
90		difrp 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
91	88, 89, 90	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺))
92	87, 91	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
93	92	relogcld 26605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
94	88	renegcld 11578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95		elfzle1 13457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97		divge0 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
98	66, 96, 72, 84, 97	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
99	88, 98, 87	eflegeo 16060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
100	88	reefcld 16025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101		efgt0 16042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
102	88, 101	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
103	92	rpregt0d 12969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104		lerec2 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105	100, 102, 103, 104	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
106	99, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
107	92	reeflogd 26606	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
108	88	recnd 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109		efneg 16037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111	106, 107, 110	3brtr4d 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112		efle 16057	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
113	93, 94, 112	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114	111, 113	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
115	63, 93, 94, 114	fsumle 15736	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
116	63, 108	fsumneg 15724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
117	51	nncnd 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
118	66	recnd 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119		nnne0 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120	119	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
121	63, 117, 118, 120	fsumdivc 15723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122		arisum2 15798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
123	53, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124	123	oveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125	121, 124	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126	125	negeqd 11388	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127	116, 126	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128	115, 127	breqtrd 5126	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
129	63, 93	fsumrecl 15671	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
130	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131		efle 16057	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132	129, 130, 131	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133	128, 132	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
134	62, 133	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
135	16	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
136	50, 134, 135, 40	ltlecasei 11255	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2114 {cab 2715 ≠ wne 2933 ⊆ wss 3903 ∅c0 4287 class class class wbr 5100 ⟶wf 6498 –1-1→wf1 6499 ‘cfv 6502 (class class class)co 7370 ≼ cdom 8895 Fincfn 8897 ℂcc 11038 ℝcr 11039 0cc0 11040 1c1 11041 · cmul 11045 < clt 11180 ≤ cle 11181 − cmin 11378 -cneg 11379 / cdiv 11808 ℕcn 12159 2c2 12214 ℕ₀cn0 12415 ℤcz 12502 ℤ_≥cuz 12765 ℝ⁺crp 12919 ...cfz 13437 ↑cexp 13998 ♯chash 14267 Σcsu 15623 expce 15998 logclog 26536

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5314 ax-pr 5381 ax-un 7692 ax-inf2 9564 ax-cnex 11096 ax-resscn 11097 ax-1cn 11098 ax-icn 11099 ax-addcl 11100 ax-addrcl 11101 ax-mulcl 11102 ax-mulrcl 11103 ax-mulcom 11104 ax-addass 11105 ax-mulass 11106 ax-distr 11107 ax-i2m1 11108 ax-1ne0 11109 ax-1rid 11110 ax-rnegex 11111 ax-rrecex 11112 ax-cnre 11113 ax-pre-lttri 11114 ax-pre-lttrn 11115 ax-pre-ltadd 11116 ax-pre-mulgt0 11117 ax-pre-sup 11118 ax-addf 11119

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5529 df-eprel 5534 df-po 5542 df-so 5543 df-fr 5587 df-se 5588 df-we 5589 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6269 df-ord 6330 df-on 6331 df-lim 6332 df-suc 6333 df-iota 6458 df-fun 6504 df-fn 6505 df-f 6506 df-f1 6507 df-fo 6508 df-f1o 6509 df-fv 6510 df-isom 6511 df-riota 7327 df-ov 7373 df-oprab 7374 df-mpo 7375 df-of 7634 df-om 7821 df-1st 7945 df-2nd 7946 df-supp 8115 df-frecs 8235 df-wrecs 8266 df-recs 8315 df-rdg 8353 df-1o 8409 df-2o 8410 df-oadd 8413 df-er 8647 df-map 8779 df-pm 8780 df-ixp 8850 df-en 8898 df-dom 8899 df-sdom 8900 df-fin 8901 df-fsupp 9279 df-fi 9328 df-sup 9359 df-inf 9360 df-oi 9429 df-dju 9827 df-card 9865 df-pnf 11182 df-mnf 11183 df-xr 11184 df-ltxr 11185 df-le 11186 df-sub 11380 df-neg 11381 df-div 11809 df-nn 12160 df-2 12222 df-3 12223 df-4 12224 df-5 12225 df-6 12226 df-7 12227 df-8 12228 df-9 12229 df-n0 12416 df-xnn0 12489 df-z 12503 df-dec 12622 df-uz 12766 df-q 12876 df-rp 12920 df-xneg 13040 df-xadd 13041 df-xmul 13042 df-ioo 13279 df-ioc 13280 df-ico 13281 df-icc 13282 df-fz 13438 df-fzo 13585 df-fl 13726 df-mod 13804 df-seq 13939 df-exp 13999 df-fac 14211 df-bc 14240 df-hash 14268 df-shft 15004 df-cj 15036 df-re 15037 df-im 15038 df-sqrt 15172 df-abs 15173 df-limsup 15408 df-clim 15425 df-rlim 15426 df-sum 15624 df-ef 16004 df-sin 16006 df-cos 16007 df-pi 16009 df-struct 17088 df-sets 17105 df-slot 17123 df-ndx 17135 df-base 17151 df-ress 17172 df-plusg 17204 df-mulr 17205 df-starv 17206 df-sca 17207 df-vsca 17208 df-ip 17209 df-tset 17210 df-ple 17211 df-ds 17213 df-unif 17214 df-hom 17215 df-cco 17216 df-rest 17356 df-topn 17357 df-0g 17375 df-gsum 17376 df-topgen 17377 df-pt 17378 df-prds 17381 df-xrs 17437 df-qtop 17442 df-imas 17443 df-xps 17445 df-mre 17519 df-mrc 17520 df-acs 17522 df-mgm 18579 df-sgrp 18658 df-mnd 18674 df-submnd 18723 df-mulg 19015 df-cntz 19263 df-cmn 19728 df-psmet 21318 df-xmet 21319 df-met 21320 df-bl 21321 df-mopn 21322 df-fbas 21323 df-fg 21324 df-cnfld 21327 df-top 22855 df-topon 22872 df-topsp 22894 df-bases 22907 df-cld 22980 df-ntr 22981 df-cls 22982 df-nei 23059 df-lp 23097 df-perf 23098 df-cn 23188 df-cnp 23189 df-haus 23276 df-tx 23523 df-hmeo 23716 df-fil 23807 df-fm 23899 df-flim 23900 df-flf 23901 df-xms 24281 df-ms 24282 df-tms 24283 df-cncf 24844 df-limc 25840 df-dv 25841 df-log 26538

This theorem is referenced by: birthday 26937

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