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Theorem birthdaylem3 26303
Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
2 abn0 4340 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
3 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
43brdom 8900 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
52, 4bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁))
6 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
7 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
106, 9breqan12d 5121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾𝑁))
11 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
12 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
13 hashdom 14279 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
15 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
16 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1910, 14, 183bitr3d 308 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
205, 19bitrid 282 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
2120necon4abid 2984 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ({𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅ ↔ 𝑁 < 𝐾))
2221biimpar 478 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
231, 22eqtrid 2788 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
2423fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
25 hash0 14267 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
2624, 25eqtrdi 2792 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
2726oveq1d 7372 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
28 birthday.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
2928, 1birthdaylem1 26301 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
3029simp3i 1141 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
3130ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
3229simp2i 1140 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ Fin
33 hashnncl 14266 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . 7 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅)
3531, 34sylibr 233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
3635nncnd 12169 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
3735nnne0d 12203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ≠ 0)
3836, 37div0d 11930 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
3927, 38eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
4015adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
4140resqcld 14030 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
4241, 40resubcld 11583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
4342rehalfcld 12400 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
44 nndivre 12194 . . . . . . . 8 (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4543, 44sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4645renegcld 11582 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
4847rpefcld 15987 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 12961 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
5039, 49eqbrtrd 5127 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
51 simplr 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
52 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
53 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54 nn0uz 12805 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
5553, 54eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
56 nnz 12520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
58 elfz5 13433 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
6052, 59mpbird 256 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
6128, 1birthdaylem2 26302 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
6251, 60, 61syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
63 fzfid 13878 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
64 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6665nn0red 12474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
6753nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
68 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7151adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7271nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
73 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
7551nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
7667ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
7769, 67, 75, 76, 52ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
7966, 70, 72, 74, 78lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
8071nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8180mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
8279, 81breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
83 1red 11156 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
8471nngt0d 12202 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
85 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8666, 83, 72, 84, 85syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
8782, 86mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
8866, 71nndivred 12207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
89 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
90 difrp 12953 . . . . . . . . 9 (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9188, 89, 90sylancl 586 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
9392relogcld 25978 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
9488renegcld 11582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
95 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
9695adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
97 divge0 12024 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9866, 96, 72, 84, 97syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
9988, 98, 87eflegeo 16003 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
10088reefcld 15970 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
101 efgt0 15985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10288, 101syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
10392rpregt0d 12963 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
104 lerec2 12043 . . . . . . . . . 10 ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
105100, 102, 103, 104syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
10699, 105mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
10792reeflogd 25979 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
10888recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
109 efneg 15980 . . . . . . . . 9 ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
111106, 107, 1103brtr4d 5137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
112 efle 16000 . . . . . . . 8 (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
11393, 94, 112syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
114111, 113mpbird 256 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
11563, 93, 94, 114fsumle 15684 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
11663, 108fsumneg 15672 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
11751nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
11866recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
119 nnne0 12187 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
120119ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
12163, 117, 118, 120fsumdivc 15671 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
122 arisum2 15746 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
12353, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
124123oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
125121, 124eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
126125negeqd 11395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
127116, 126eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
128115, 127breqtrd 5131 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
12963, 93fsumrecl 15619 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
13046adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
131 efle 16000 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
132129, 130, 131syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
133128, 132mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13462, 133eqbrtrd 5127 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
13516adantl 482 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
13650, 134, 135, 40ltlecasei 11263 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7357  cdom 8881  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  chash 14230  Σcsu 15570  expce 15944  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
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