MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthfilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthfilem 9238
Description: Lemma for sbthfi 9239. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthfilem.1 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthfilem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthfilem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthfilem ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem
StepHypRef Expression
1 19.42vv 1957 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
2 3anass 1095 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
322exbii 1849 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
4 3anass 1095 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
5 sbthfilem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
65brdom 9001 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
7 sbthfilem.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
87brdom 9001 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
96, 8anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
10 exdistrv 1955 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
119, 10bitr4i 278 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
1211anbi2i 623 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
134, 12bitri 275 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
141, 3, 133bitr4ri 304 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
15 f1fn 6805 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1𝐴𝑔 Fn 𝐵)
16 sbthfilem.3 . . . . . . . 8 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
17 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
1817resex 6047 . . . . . . . . 9 (𝑓 𝐷) ∈ V
19 fnfi 9218 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20 cnvfi 9216 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → 𝑔 ∈ Fin)
21 resexg 6045 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
23 unexg 7763 . . . . . . . . 9 (((𝑓 𝐷) ∈ V ∧ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2418, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2516, 24eqeltrid 2845 . . . . . . 7 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
2625ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
2715, 26sylan2 593 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28273adant2 1132 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29 sbthfilem.2 . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
307, 29, 16sbthlem9 9131 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
31303adant1 1131 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
32 f1oen3g 9007 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
3328, 31, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3433exlimivv 1932 . 2 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3514, 34sylbi 217 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688   Fn wfn 6556  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  sbthfi  9239
  Copyright terms: Public domain W3C validator