Theorem sbthfilem 8984

Description: Lemma for sbthfi 8985. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthfilem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
sbthfilem.3	⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
sbthfilem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sbthfilem	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42vv 1961	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
2		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
3	2	2exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
4		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
5		sbthfilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	brdom 8750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		sbthfilem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	brdom 8750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)
9	6, 8	anbi12i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
10		exdistrv 1959	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
11	9, 10	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
12	11	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
13	4, 12	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
14	1, 3, 13	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
15		f1fn 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1→𝐴 → 𝑔 Fn 𝐵)
16		sbthfilem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
17		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
18	17	resex 5939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V
19		fnfi 8964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20		cnvfi 8963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ◡𝑔 ∈ Fin)
21		resexg 5937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑔 ∈ Fin → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
23		unexg 7599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V ∧ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
24	18, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
26	25	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
27	15, 26	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28	27	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29		sbthfilem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
30	7, 29, 16	sbthlem9 8878	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
31	30	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
32		f1oen3g 8754	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
33	28, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
34	33	exlimivv 1935	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
35	14, 34	sylbi 216	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592   Fn wfn 6428  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  sbthfi  8985