MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthfilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthfilem 9236
Description: Lemma for sbthfi 9237. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthfilem.1 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthfilem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthfilem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthfilem ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem
StepHypRef Expression
1 19.42vv 1955 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
2 3anass 1094 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
322exbii 1846 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
4 3anass 1094 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
5 sbthfilem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
65brdom 9000 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
7 sbthfilem.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
87brdom 9000 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
96, 8anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
10 exdistrv 1953 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
119, 10bitr4i 278 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
1211anbi2i 623 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
134, 12bitri 275 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
141, 3, 133bitr4ri 304 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
15 f1fn 6806 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1𝐴𝑔 Fn 𝐵)
16 sbthfilem.3 . . . . . . . 8 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
17 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
1817resex 6049 . . . . . . . . 9 (𝑓 𝐷) ∈ V
19 fnfi 9216 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20 cnvfi 9215 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → 𝑔 ∈ Fin)
21 resexg 6047 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
23 unexg 7762 . . . . . . . . 9 (((𝑓 𝐷) ∈ V ∧ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2418, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2516, 24eqeltrid 2843 . . . . . . 7 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
2625ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
2715, 26sylan2 593 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28273adant2 1130 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29 sbthfilem.2 . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
307, 29, 16sbthlem9 9130 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
31303adant1 1129 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
32 f1oen3g 9006 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
3328, 31, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3433exlimivv 1930 . 2 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3514, 34sylbi 217 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cen 8981  cdom 8982  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  sbthfi  9237
  Copyright terms: Public domain W3C validator