Theorem sbthfilem 9120

Description: Lemma for sbthfi 9121. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthfilem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
sbthfilem.3	⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
sbthfilem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sbthfilem	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42vv 1958	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
2		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
3	2	2exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
4		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
5		sbthfilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	brdom 8895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		sbthfilem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	brdom 8895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)
9	6, 8	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
10		exdistrv 1956	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
11	9, 10	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
12	11	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
13	4, 12	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
14	1, 3, 13	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
15		f1fn 6729	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1→𝐴 → 𝑔 Fn 𝐵)
16		sbthfilem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
17		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
18	17	resex 5986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V
19		fnfi 9100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20		cnvfi 9098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ◡𝑔 ∈ Fin)
21		resexg 5984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑔 ∈ Fin → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
23		unexg 7686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V ∧ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
24	18, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
26	25	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
27	15, 26	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28	27	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29		sbthfilem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
30	7, 29, 16	sbthlem9 9021	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
31	30	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
32		f1oen3g 8901	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
33	28, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
34	33	exlimivv 1933	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
35	14, 34	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2712  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625   Fn wfn 6485  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8882  df-dom 8883  df-fin 8885

This theorem is referenced by:  sbthfi  9121