Theorem sbthfilem 9195

Description: Lemma for sbthfi 9196. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthfilem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
sbthfilem.3	⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
sbthfilem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sbthfilem	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42vv 1990	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
2		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
3	2	2exbii 1882	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
4		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
5		sbthfilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	brdom 8969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		sbthfilem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	brdom 8969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)
9	6, 8	anbi12i 640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
10		exdistrv 1988	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
11	9, 10	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
12	11	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
13	4, 12	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
14	1, 3, 13	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
15		f1fn 6773	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1→𝐴 → 𝑔 Fn 𝐵)
16		sbthfilem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
17		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
18	17	resex 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V
19		fnfi 9175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20		cnvfi 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ◡𝑔 ∈ Fin)
21		resexg 6020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑔 ∈ Fin → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
23		unexg 7746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V ∧ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
24	18, 22, 23	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
26	25	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
27	15, 26	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28	27	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29		sbthfilem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
30	7, 29, 16	sbthlem9 9096	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
31	30	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
32		f1oen3g 8975	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
33	28, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
34	33	exlimivv 1965	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
35	14, 34	sylbi 220	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2738  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   “ cima 5658   Fn wfn 6528  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959

This theorem is used by:  sbthfi  9196