Theorem sbthfilem 9226

Description: Lemma for sbthfi 9227. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthfilem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
sbthfilem.3	⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
sbthfilem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sbthfilem	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42vv 1953	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
2		3anass 1092	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
3	2	2exbii 1843	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
4		3anass 1092	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
5		sbthfilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	brdom 8981	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		sbthfilem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
8	7	brdom 8981	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)
9	6, 8	anbi12i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
10		exdistrv 1951	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
11	9, 10	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
12	11	anbi2i 621	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
13	4, 12	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)))
14	1, 3, 13	3bitr4ri 303	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
15		f1fn 6794	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:𝐵–1-1→𝐴 → 𝑔 Fn 𝐵)
16		sbthfilem.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
17		vex 3465	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑓 ∈ V
18	17	resex 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V
19		fnfi 9206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20		cnvfi 9205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ◡𝑔 ∈ Fin)
21		resexg 6032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝑔 ∈ Fin → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V)
23		unexg 7752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V ∧ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
24	18, 22, 23	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
26	25	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
27	15, 26	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28	27	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29		sbthfilem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
30	7, 29, 16	sbthlem9 9116	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
31	30	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
32		f1oen3g 8987	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
33	28, 31, 32	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
34	33	exlimivv 1927	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
35	14, 34	sylbi 216	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2702  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   “ cima 5681   Fn wfn 6544  –1-1→wf1 6546  –1-1-onto→wf1o 6548   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  sbthfi  9227