MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthfilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthfilem 9148
Description: Lemma for sbthfi 9149. (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthfilem.1 𝐴 ∈ V
sbthfilem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthfilem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthfilem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthfilem ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthfilem
StepHypRef Expression
1 19.42vv 1962 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
2 3anass 1096 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
322exbii 1852 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
4 3anass 1096 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
5 sbthfilem.4 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
65brdom 8903 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
7 sbthfilem.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
87brdom 8903 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
96, 8anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
10 exdistrv 1960 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
119, 10bitr4i 278 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
1211anbi2i 624 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
134, 12bitri 275 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴)))
141, 3, 133bitr4ri 304 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
15 f1fn 6740 . . . . . 6 (𝑔:𝐵1-1𝐴𝑔 Fn 𝐵)
16 sbthfilem.3 . . . . . . . 8 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
17 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
1817resex 5986 . . . . . . . . 9 (𝑓 𝐷) ∈ V
19 fnfi 9128 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝑔 ∈ Fin)
20 cnvfi 9127 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → 𝑔 ∈ Fin)
21 resexg 5984 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ Fin → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V)
23 unexg 7684 . . . . . . . . 9 (((𝑓 𝐷) ∈ V ∧ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2418, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V)
2516, 24eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((𝑔 Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ V)
2625ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 Fn 𝐵) → 𝐻 ∈ V)
2715, 26sylan2 594 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
28273adant2 1132 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻 ∈ V)
29 sbthfilem.2 . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
307, 29, 16sbthlem9 9038 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
31303adant1 1131 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
32 f1oen3g 8909 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
3328, 31, 32syl2anc 585 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3433exlimivv 1936 . 2 (∃𝑓𝑔(𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
3514, 34sylbi 216 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3444  cdif 3908  cun 3909  wss 3911   cuni 4866   class class class wbr 5106  ccnv 5633  cres 5636  cima 5637   Fn wfn 6492  1-1wf1 6494  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  cdom 8884  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  sbthfi  9149
  Copyright terms: Public domain W3C validator