MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthlem10 9086
Description: Lemma for sbth 9087. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1 𝐴 ∈ V
sbthlem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthlem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthlem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthlem10 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓,𝑔   𝑥,𝐻   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem sbthlem10
StepHypRef Expression
1 sbthlem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ V
21brdom 8959 . . . 4 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 sbthlem.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
43brdom 8959 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
52, 4anbi12i 640 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
6 exdistrv 1988 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
75, 6bitr4i 281 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
8 sbthlem.3 . . . . 5 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
9 vex 3462 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
109resex 6031 . . . . . 6 (𝑓 𝐷) ∈ V
11 vex 3462 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1211cnvex 7924 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
1312resex 6031 . . . . . 6 (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V
1410, 13unex 7748 . . . . 5 ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V
158, 14eqeltri 2862 . . . 4 𝐻 ∈ V
16 sbthlem.2 . . . . 5 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
173, 16, 8sbthlem9 9085 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
18 f1oen3g 8965 . . . 4 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1915, 17, 18sylancr 599 . . 3 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
2019exlimivv 1965 . 2 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
217, 20sylbi 220 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wa 401   = wceq 1570  wex 1812  wcel 2146  {cab 2744  Vcvv 3458  cdif 3905  cun 3906  wss 3908   cuni 4875   class class class wbr 5112  ccnv 5663  cres 5666  cima 5667  1-1wf1 6537  1-1-ontowf1o 6539  cen 8942  cdom 8943
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8946  df-dom 8947
This theorem is used by:  sbth  9087
  Copyright terms: Public domain W3C validator