Theorem domtr 9067

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 9009	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3492	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 9020	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3492	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 9020	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 9020	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 597	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5763	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1777   class class class wbr 5166   ∘ ccom 5704  –1-1→wf1 6570   ≼ cdom 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-dom 9005

This theorem is referenced by:  endomtr  9072  domentr  9073  cnvct  9099  ssctOLD  9118  undomOLD  9126  sdomdomtr  9176  domsdomtr  9178  xpen  9206  unxpdom2  9317  sucxpdom  9318  fidomdm  9402  hartogs  9613  harword  9632  unxpwdom  9658  harcard  10047  infxpenlem  10082  xpct  10085  indcardi  10110  fodomfi2  10129  infpwfien  10131  inffien  10132  djudoml  10254  djuinf  10258  infdju1  10259  djulepw  10262  unctb  10273  infdjuabs  10274  infdju  10276  infdif  10277  infdif2  10278  infxp  10283  infmap2  10286  fictb  10313  cfslb2n  10337  isfin32i  10434  fin1a2lem12  10480  hsmexlem1  10495  dmct  10593  brdom3  10597  brdom5  10598  brdom4  10599  imadomg  10603  fimact  10604  fnct  10606  mptct  10607  iundomg  10610  uniimadom  10613  ondomon  10632  unirnfdomd  10636  alephval2  10641  iunctb  10643  alephexp1  10648  alephreg  10651  cfpwsdom  10653  gchdomtri  10698  canthnum  10718  canthp1lem1  10721  canthp1  10723  pwfseqlem5  10732  pwxpndom2  10734  pwxpndom  10735  pwdjundom  10736  gchdjuidm  10737  gchxpidm  10738  gchpwdom  10739  gchaclem  10747  gchhar  10748  inar1  10844  rankcf  10846  grudomon  10886  grothac  10899  rpnnen  16275  cctop  23034  1stcfb  23474  2ndcredom  23479  2ndc1stc  23480  1stcrestlem  23481  2ndcctbss  23484  2ndcdisj2  23486  2ndcomap  23487  2ndcsep  23488  dis2ndc  23489  hauspwdom  23530  tx1stc  23679  tx2ndc  23680  met2ndci  24556  opnreen  24872  rectbntr0  24873  uniiccdif  25632  dyadmbl  25654  opnmblALT  25657  mbfimaopnlem  25709  abrexdomjm  32535  mptctf  32731  locfinreflem  33786  sigaclci  34096  omsmeas  34288  sibfof  34305  abrexdom  37690  heiborlem3  37773  imadomfi  41959  ttac  42993  idomsubgmo  43154  safesnsupfidom1o  43379  pr2dom  43489  tr3dom  43490  uzct  44965  rn1st  45183  omeiunle  46438  smfaddlem2  46685  smflimlem6  46697  smfmullem4  46715  smfpimbor1lem1  46719