MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtr 8950
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8892 . 2 Rel ≼
2 vex 3448 . . . 4 𝑦 ∈ V
32brdom 8903 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦)
4 vex 3448 . . . 4 𝑧 ∈ V
54brdom 8903 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧)
6 exdistrv 1960 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧))
7 f1co 6751 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑦1-1𝑧𝑔:𝑥1-1𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
87ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
9 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
10 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
119, 10coex 7868 . . . . . . . 8 (𝑓𝑔) ∈ V
12 f1eq1 6734 . . . . . . . 8 ( = (𝑓𝑔) → (:𝑥1-1𝑧 ↔ (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧))
1311, 12spcev 3564 . . . . . . 7 ((𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧 → ∃ :𝑥1-1𝑧)
148, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → ∃ :𝑥1-1𝑧)
154brdom 8903 . . . . . 6 (𝑥𝑧 ↔ ∃ :𝑥1-1𝑧)
1614, 15sylibr 233 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
1716exlimivv 1936 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
186, 17sylbir 234 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
193, 5, 18syl2anb 599 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
201, 19vtoclr 5696 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782   class class class wbr 5106  ccom 5638  1-1wf1 6494  cdom 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-dom 8888
This theorem is referenced by:  endomtr  8955  domentr  8956  cnvct  8981  ssctOLD  8999  undomOLD  9007  sdomdomtr  9057  domsdomtr  9059  xpen  9087  unxpdom2  9201  sucxpdom  9202  fidomdm  9276  hartogs  9485  harword  9504  unxpwdom  9530  harcard  9919  infxpenlem  9954  xpct  9957  indcardi  9982  fodomfi2  10001  infpwfien  10003  inffien  10004  djudoml  10125  djuinf  10129  infdju1  10130  djulepw  10133  unctb  10146  infdjuabs  10147  infdju  10149  infdif  10150  infdif2  10151  infxp  10156  infmap2  10159  fictb  10186  cfslb2n  10209  isfin32i  10306  fin1a2lem12  10352  hsmexlem1  10367  dmct  10465  brdom3  10469  brdom5  10470  brdom4  10471  imadomg  10475  fimact  10476  fnct  10478  mptct  10479  iundomg  10482  uniimadom  10485  ondomon  10504  unirnfdomd  10508  alephval2  10513  iunctb  10515  alephexp1  10520  alephreg  10523  cfpwsdom  10525  gchdomtri  10570  canthnum  10590  canthp1lem1  10593  canthp1  10595  pwfseqlem5  10604  pwxpndom2  10606  pwxpndom  10607  pwdjundom  10608  gchdjuidm  10609  gchxpidm  10610  gchpwdom  10611  gchaclem  10619  gchhar  10620  inar1  10716  rankcf  10718  grudomon  10758  grothac  10771  rpnnen  16114  cctop  22372  1stcfb  22812  2ndcredom  22817  2ndc1stc  22818  1stcrestlem  22819  2ndcctbss  22822  2ndcdisj2  22824  2ndcomap  22825  2ndcsep  22826  dis2ndc  22827  hauspwdom  22868  tx1stc  23017  tx2ndc  23018  met2ndci  23894  opnreen  24210  rectbntr0  24211  uniiccdif  24958  dyadmbl  24980  opnmblALT  24983  mbfimaopnlem  25035  abrexdomjm  31476  mptctf  31681  locfinreflem  32478  sigaclci  32788  omsmeas  32980  sibfof  32997  abrexdom  36235  heiborlem3  36318  ttac  41403  idomsubgmo  41568  safesnsupfidom1o  41777  pr2dom  41887  tr3dom  41888  uzct  43359  rn1st  43589  omeiunle  44844  smfaddlem2  45091  smflimlem6  45103  smfmullem4  45121  smfpimbor1lem1  45125
  Copyright terms: Public domain W3C validator