Theorem domtr 8948

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8893	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3445	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 8901	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3445	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 8901	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		exdistrv 1957	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6726	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 8901	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5688	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   class class class wbr 5099   ∘ ccom 5629  –1-1→wf1 6490   ≼ cdom 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-dom 8889

This theorem is referenced by:  endomtr  8953  domentr  8954  cnvct  8975  sdomdomtr  9042  domsdomtr  9044  xpen  9072  unxpdom2  9164  sucxpdom  9165  fidomdm  9238  hartogs  9453  harword  9472  unxpwdom  9498  harcard  9894  infxpenlem  9927  xpct  9930  indcardi  9955  fodomfi2  9974  infpwfien  9976  inffien  9977  djudoml  10099  djuinf  10103  infdju1  10104  djulepw  10107  unctb  10118  infdjuabs  10119  infdju  10121  infdif  10122  infdif2  10123  infxp  10128  infmap2  10131  fictb  10158  cfslb2n  10182  isfin32i  10279  fin1a2lem12  10325  hsmexlem1  10340  dmct  10438  brdom3  10442  brdom5  10443  brdom4  10444  imadomg  10448  fimact  10449  fnct  10451  mptct  10452  iundomg  10455  uniimadom  10458  ondomon  10477  unirnfdomd  10482  alephval2  10487  iunctb  10489  alephexp1  10494  alephreg  10497  cfpwsdom  10499  gchdomtri  10544  canthnum  10564  canthp1lem1  10567  canthp1  10569  pwfseqlem5  10578  pwxpndom2  10580  pwxpndom  10581  pwdjundom  10582  gchdjuidm  10583  gchxpidm  10584  gchpwdom  10585  gchaclem  10593  gchhar  10594  inar1  10690  rankcf  10692  grudomon  10732  grothac  10745  rpnnen  16156  cctop  22954  1stcfb  23393  2ndcredom  23398  2ndc1stc  23399  1stcrestlem  23400  2ndcctbss  23403  2ndcdisj2  23405  2ndcomap  23406  2ndcsep  23407  dis2ndc  23408  hauspwdom  23449  tx1stc  23598  tx2ndc  23599  met2ndci  24470  opnreen  24780  rectbntr0  24781  uniiccdif  25539  dyadmbl  25561  opnmblALT  25564  mbfimaopnlem  25616  abrexdomjm  32585  mptctf  32797  locfinreflem  33999  sigaclci  34291  omsmeas  34482  sibfof  34499  abrexdom  37933  heiborlem3  38016  imadomfi  42324  ttac  43345  idomsubgmo  43502  safesnsupfidom1o  43725  pr2dom  43835  tr3dom  43836  uzct  45375  rn1st  45584  omeiunle  46828  smfaddlem2  47075  smflimlem6  47087  smfmullem4  47105  smfpimbor1lem1  47109