Theorem domtr 9005

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8947	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3478	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 8958	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3478	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 8958	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		exdistrv 1959	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3478	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3478	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 8958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1935	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5739	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∃wex 1781   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  –1-1→wf1 6540   ≼ cdom 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-dom 8943

This theorem is referenced by:  endomtr  9010  domentr  9011  cnvct  9036  ssctOLD  9054  undomOLD  9062  sdomdomtr  9112  domsdomtr  9114  xpen  9142  unxpdom2  9256  sucxpdom  9257  fidomdm  9331  hartogs  9541  harword  9560  unxpwdom  9586  harcard  9975  infxpenlem  10010  xpct  10013  indcardi  10038  fodomfi2  10057  infpwfien  10059  inffien  10060  djudoml  10181  djuinf  10185  infdju1  10186  djulepw  10189  unctb  10202  infdjuabs  10203  infdju  10205  infdif  10206  infdif2  10207  infxp  10212  infmap2  10215  fictb  10242  cfslb2n  10265  isfin32i  10362  fin1a2lem12  10408  hsmexlem1  10423  dmct  10521  brdom3  10525  brdom5  10526  brdom4  10527  imadomg  10531  fimact  10532  fnct  10534  mptct  10535  iundomg  10538  uniimadom  10541  ondomon  10560  unirnfdomd  10564  alephval2  10569  iunctb  10571  alephexp1  10576  alephreg  10579  cfpwsdom  10581  gchdomtri  10626  canthnum  10646  canthp1lem1  10649  canthp1  10651  pwfseqlem5  10660  pwxpndom2  10662  pwxpndom  10663  pwdjundom  10664  gchdjuidm  10665  gchxpidm  10666  gchpwdom  10667  gchaclem  10675  gchhar  10676  inar1  10772  rankcf  10774  grudomon  10814  grothac  10827  rpnnen  16174  cctop  22729  1stcfb  23169  2ndcredom  23174  2ndc1stc  23175  1stcrestlem  23176  2ndcctbss  23179  2ndcdisj2  23181  2ndcomap  23182  2ndcsep  23183  dis2ndc  23184  hauspwdom  23225  tx1stc  23374  tx2ndc  23375  met2ndci  24251  opnreen  24567  rectbntr0  24568  uniiccdif  25319  dyadmbl  25341  opnmblALT  25344  mbfimaopnlem  25396  abrexdomjm  31999  mptctf  32197  locfinreflem  33106  sigaclci  33416  omsmeas  33608  sibfof  33625  abrexdom  36901  heiborlem3  36984  ttac  42077  idomsubgmo  42242  safesnsupfidom1o  42470  pr2dom  42580  tr3dom  42581  uzct  44052  rn1st  44277  omeiunle  45532  smfaddlem2  45779  smflimlem6  45791  smfmullem4  45809  smfpimbor1lem1  45813