Theorem domtr 8545

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8498	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3444	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 8504	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3444	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 8504	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		exdistrv 1956	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6544	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 8504	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1933	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 600	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5579	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1781   class class class wbr 5030   ∘ ccom 5523  –1-1→wf1 6321   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  endomtr  8550  domentr  8551  cnvct  8569  ssct  8581  undom  8588  sdomdomtr  8634  domsdomtr  8636  xpen  8664  unxpdom2  8710  sucxpdom  8711  fidomdm  8785  hartogs  8992  harword  9011  unxpwdom  9037  harcard  9391  infxpenlem  9424  xpct  9427  indcardi  9452  fodomfi2  9471  infpwfien  9473  inffien  9474  djudoml  9595  djuinf  9599  infdju1  9600  djulepw  9603  unctb  9616  infdjuabs  9617  infdju  9619  infdif  9620  infdif2  9621  infxp  9626  infmap2  9629  fictb  9656  cfslb2n  9679  isfin32i  9776  fin1a2lem12  9822  hsmexlem1  9837  dmct  9935  brdom3  9939  brdom5  9940  brdom4  9941  imadomg  9945  fimact  9946  fnct  9948  mptct  9949  iundomg  9952  uniimadom  9955  ondomon  9974  unirnfdomd  9978  alephval2  9983  iunctb  9985  alephexp1  9990  alephreg  9993  cfpwsdom  9995  gchdomtri  10040  canthnum  10060  canthp1lem1  10063  canthp1  10065  pwfseqlem5  10074  pwxpndom2  10076  pwxpndom  10077  pwdjundom  10078  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchaclem  10089  gchhar  10090  inar1  10186  rankcf  10188  grudomon  10228  grothac  10241  rpnnen  15572  cctop  21611  1stcfb  22050  2ndcredom  22055  2ndc1stc  22056  1stcrestlem  22057  2ndcctbss  22060  2ndcdisj2  22062  2ndcomap  22063  2ndcsep  22064  dis2ndc  22065  hauspwdom  22106  tx1stc  22255  tx2ndc  22256  met2ndci  23129  opnreen  23436  rectbntr0  23437  uniiccdif  24182  dyadmbl  24204  opnmblALT  24207  mbfimaopnlem  24259  abrexdomjm  30275  mptctf  30479  locfinreflem  31193  sigaclci  31501  omsmeas  31691  sibfof  31708  abrexdom  35168  heiborlem3  35251  ttac  39977  idomsubgmo  40142  pr2dom  40235  tr3dom  40236  uzct  41697  omeiunle  43156  smfaddlem2  43397  smflimlem6  43409  smfmullem4  43426  smfpimbor1lem1  43430