Theorem domtr 8948

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8893	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3437	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 8901	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3437	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 8901	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		exdistrv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3437	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3437	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6722	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 8901	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1940	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 605	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5684	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397  ∃wex 1787   class class class wbr 5075   ∘ ccom 5625  –1-1→wf1 6486   ≼ cdom 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-dom 8889

This theorem is referenced by:  endomtr  8953  domentr  8954  cnvct  8975  sdomdomtr  9042  domsdomtr  9044  xpen  9072  unxpdom2  9164  sucxpdom  9165  fidomdm  9238  hartogs  9453  harword  9472  unxpwdom  9498  harcard  9897  infxpenlem  9930  xpct  9933  indcardi  9958  fodomfi2  9977  infpwfien  9979  inffien  9980  djudoml  10102  djuinf  10106  infdju1  10107  djulepw  10110  unctb  10121  infdjuabs  10122  infdju  10124  infdif  10125  infdif2  10126  infxp  10131  infmap2  10134  fictb  10161  cfslb2n  10185  isfin32i  10282  fin1a2lem12  10328  hsmexlem1  10343  dmct  10441  brdom3  10445  brdom5  10446  brdom4  10447  imadomg  10451  fimact  10452  fnct  10454  mptct  10455  iundomg  10458  uniimadom  10461  ondomon  10480  unirnfdomd  10485  alephval2  10490  iunctb  10492  alephexp1  10497  alephreg  10500  cfpwsdom  10502  gchdomtri  10547  canthnum  10567  canthp1lem1  10570  canthp1  10572  pwfseqlem5  10581  pwxpndom2  10583  pwxpndom  10584  pwdjundom  10585  gchdjuidm  10586  gchxpidm  10587  gchpwdom  10588  gchaclem  10596  gchhar  10597  inar1  10693  rankcf  10695  grudomon  10735  grothac  10748  rpnnen  16189  cctop  22993  1stcfb  23432  2ndcredom  23437  2ndc1stc  23438  1stcrestlem  23439  2ndcctbss  23442  2ndcdisj2  23444  2ndcomap  23445  2ndcsep  23446  dis2ndc  23447  hauspwdom  23488  tx1stc  23637  tx2ndc  23638  met2ndci  24509  opnreen  24819  rectbntr0  24820  uniiccdif  25567  dyadmbl  25589  opnmblALT  25592  mbfimaopnlem  25644  abrexdomjm  32599  mptctf  32812  locfinreflem  34036  sigaclci  34328  omsmeas  34519  sibfof  34536  abrexdom  38112  heiborlem3  38195  imadomfi  42502  ttac  43496  idomsubgmo  43653  safesnsupfidom1o  43876  pr2dom  43986  tr3dom  43987  uzct  45526  rn1st  45731  omeiunle  46974  smfaddlem2  47221  smflimlem6  47233  smfmullem4  47251  smfpimbor1lem1  47255