MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen 8173
Description: Dominance in terms of equinumerosity. Example 1 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
bren.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domen (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem domen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren.1 . . 3 𝐵 ∈ V
21brdom 8172 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 vex 3353 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
43f11o 7326 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
54exbii 1943 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
6 excom 2206 . . . 4 (∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
75, 6bitri 266 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
8 bren 8169 . . . . . 6 (𝐴𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥)
98anbi1i 617 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
10 19.41v 2044 . . . . 5 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
119, 10bitr4i 269 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
1211exbii 1943 . . 3 (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
137, 12bitr4i 269 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
142, 13bitri 266 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wex 1874  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3732   class class class wbr 4809  1-1wf1 6065  1-1-ontowf1o 6067  cen 8157  cdom 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-dm 5287  df-rn 5288  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-en 8161  df-dom 8162
This theorem is referenced by:  domeng  8174  infcntss  8441  cdainf  9267  ramub2  15999  ram0  16007
  Copyright terms: Public domain W3C validator