MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen 8662
Description: Dominance in terms of equinumerosity. Example 1 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
bren.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
domen (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem domen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren.1 . . 3 𝐵 ∈ V
21brdom 8661 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 vex 3425 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
43f11o 7739 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
54exbii 1855 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
6 excom 2167 . . . 4 (∃𝑓𝑥(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
75, 6bitri 278 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
8 bren 8657 . . . . . 6 (𝐴𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥)
98anbi1i 627 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
10 19.41v 1958 . . . . 5 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
119, 10bitr4i 281 . . . 4 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
1211exbii 1855 . . 3 (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ∃𝑥𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑥𝐵))
137, 12bitr4i 281 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
142, 13bitri 278 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wex 1787  wcel 2111  Vcvv 3421  wss 3881   class class class wbr 5068  1-1wf1 6395  1-1-ontowf1o 6397  cen 8644  cdom 8645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2159  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337  ax-un 7542
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2072  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4253  df-if 4455  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4835  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-dm 5576  df-rn 5577  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-en 8648  df-dom 8649
This theorem is referenced by:  domeng  8663  infcntss  8970  ramub2  16595  ram0  16603
  Copyright terms: Public domain W3C validator