Theorem cphnlm 25403

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphnlm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem cphnlm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25401	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp2d 1161	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  [,)cico 13403  √csqrt 15323  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  Scalarcsca 17348  ·_𝑖cip 17350  ℂ_fldccnfld 21588  PreHilcphl 21840  normcnm 24805  NrmModcnlm 24809  ℂPreHilccph 25397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7417  df-cph 25399

This theorem is used by:  cphngp  25404  cphlmod  25405  cphnvc  25407  cphnmvs  25421  ipcnlem2  25475  ipcnlem1  25476  csscld  25480  cphsscph  25482