Theorem cphnlm 23777

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphnlm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem cphnlm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 23775	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1142	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp2d 1140	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110   “ cima 5522  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  [,)cico 12728  √csqrt 14584  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  ·_𝑖cip 16562  ℂ_fldccnfld 20091  PreHilcphl 20313  normcnm 23183  NrmModcnlm 23187  ℂPreHilccph 23771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-cph 23773

This theorem is referenced by:  cphngp  23778  cphlmod  23779  cphnvc  23781  cphnmvs  23795  ipcnlem2  23848  ipcnlem1  23849  csscld  23853  cphsscph  23855