MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsscph 25267
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 25187 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3phlssphl 21651 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 578 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 25188 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24706 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 578 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
119, 10cphsca 25195 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1211adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
132, 9resssca 17352 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413fveq2d 6897 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
1514oveq2d 7432 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
1613, 15eqeq12d 2742 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1812, 17mpbid 231 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
195, 8, 183jca 1125 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21 elinel1 4193 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23 elinel2 4194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
2524simplbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
2824simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
3029adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
3122, 27, 303jca 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
329, 10cphsqrtcl 25200 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3320, 31, 32syl2anr 595 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 eleq1 2814 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3635adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3733, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3837ex 411 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3938rexlimiva 3137 . . . . 5 (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40 df-sqrt 15235 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
4140funmpt2 6590 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6960 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4341, 42mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4544ssrdv 3984 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4614ineq1d 4209 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6061 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4012 . . . 4 (𝑈𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
4948adantl 480 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
5045, 49mpbid 231 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51 cphlmod 25190 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
523lsssubg 20930 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5351, 52sylan 578 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54 eqid 2726 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55 eqid 2726 . . . . 5 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
562, 54, 55subgnm 24630 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
5753, 56syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59 eqid 2726 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
6058, 59, 54cphnmfval 25208 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
6160adantr 479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
622, 59ressip 17354 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6362adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6463oveqd 7433 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏(·𝑖𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))
6564fveq2d 6897 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))
6665mpteq2dv 5247 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6858, 3lssss 20909 . . . . . . 7 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
6968adantl 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70 dfss 3965 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7169, 70sylib 217 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7267, 71reseq12d 5982 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
732, 58ressbas 17243 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7473adantl 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7574reseq2d 5981 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
7672, 75eqtrd 2766 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
772, 58ressbasss 17247 . . . . 5 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
7877a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
7978resmptd 6041 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2770 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
81 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82 eqid 2726 . . 3 (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑋)
83 eqid 2726 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2726 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 25186 . 2 (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1340 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3036  wrex 3060  cin 3945  wss 3946   class class class wbr 5145  cmpt 5228  cres 5676  cima 5677  Fun wfun 6540  cfv 6546  crio 7371  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  ici 11151   · cmul 11154  +∞cpnf 11286  cle 11290  2c2 12313  +crp 13022  [,)cico 13374  cexp 14075  cre 15097  csqrt 15233  Basecbs 17208  s cress 17237  Scalarcsca 17264  ·𝑖cip 17266  SubGrpcsubg 19110  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  fldccnfld 21339  PreHilcphl 21616  normcnm 24573  NrmModcnlm 24577  ℂPreHilccph 25182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ico 13378  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ds 17283  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-topgen 17453  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lmhm 20996  df-lvec 21077  df-sra 21147  df-rgmod 21148  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-phl 21618  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-xms 24314  df-ms 24315  df-nm 24579  df-ngp 24580  df-nlm 24583  df-cph 25184
This theorem is referenced by:  cphssphl  25387  cmslsschl  25393  chlcsschl  25394
  Copyright terms: Public domain W3C validator