MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsscph 25285
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 25205 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3phlssphl 21677 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 25206 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24722 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
119, 10cphsca 25213 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1211adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
132, 9resssca 17387 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
1514oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
1613, 15eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1812, 17mpbid 232 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
195, 8, 183jca 1129 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21 elinel1 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
2524simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
2824simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
3122, 27, 303jca 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
329, 10cphsqrtcl 25218 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3320, 31, 32syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3733, 36mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3837ex 412 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3938rexlimiva 3147 . . . . 5 (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40 df-sqrt 15274 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
4140funmpt2 6605 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6974 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4341, 42mpan 690 . . . . 5 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4544ssrdv 3989 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4614ineq1d 4219 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6078 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4017 . . . 4 (𝑈𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
4948adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
5045, 49mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51 cphlmod 25208 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
523lsssubg 20955 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5351, 52sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54 eqid 2737 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55 eqid 2737 . . . . 5 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
562, 54, 55subgnm 24646 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
5753, 56syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59 eqid 2737 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
6058, 59, 54cphnmfval 25226 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
6160adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
622, 59ressip 17389 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6463oveqd 7448 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏(·𝑖𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))
6564fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))
6665mpteq2dv 5244 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6858, 3lssss 20934 . . . . . . 7 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
6968adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70 dfss 3970 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7169, 70sylib 218 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7267, 71reseq12d 5998 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
732, 58ressbas 17280 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7473adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7574reseq2d 5997 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
7672, 75eqtrd 2777 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
772, 58ressbasss 17284 . . . . 5 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
7877a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
7978resmptd 6058 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2781 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
81 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82 eqid 2737 . . 3 (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑋)
83 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 25204 . 2 (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1344 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wrex 3070  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  cle 11296  2c2 12321  +crp 13034  [,)cico 13389  cexp 14102  cre 15136  csqrt 15272  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  SubGrpcsubg 19138  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  fldccnfld 21364  PreHilcphl 21642  normcnm 24589  NrmModcnlm 24593  ℂPreHilccph 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-cph 25202
This theorem is referenced by:  cphssphl  25405  cmslsschl  25411  chlcsschl  25412
  Copyright terms: Public domain W3C validator