Theorem cphsscph 24320

Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsscph.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphsscph.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsscph	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph

Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 24240	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cphsscph.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphsscph.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	phlssphl 20776	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
5	1, 4	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6		cphnlm 24241	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
7	2, 3	lssnlm 23771	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
8	6, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	cphsca 24248	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
13	2, 9	resssca 16978	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
15	14	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
16	13, 15	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
18	12, 17	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
19	5, 8, 18	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21		elinel1 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23		elinel2 4126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24		elrege0 13115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
25	24	simplbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
28	24	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
31	22, 27, 30	3jca 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
32	9, 10	cphsqrtcl 24253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	20, 31, 32	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
37	33, 36	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
39	38	rexlimiva 3209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40		df-sqrt 14874	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
41	40	funmpt2 6457	. . . . . 6 ⊢ Fun √
42		fvelima 6817	. . . . . 6 ⊢ ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
43	41, 42	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
44	39, 43	syl11 33	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	ssrdv 3923	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
46	14	ineq1d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
47	46	imaeq2d 5958	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
48	47, 14	sseq12d 3950	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
50	45, 49	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51		cphlmod 24243	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
52	3	lsssubg 20134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	51, 52	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
56	2, 54, 55	subgnm 23695	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
57	53, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
60	58, 59, 54	cphnmfval 24261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
62	2, 59	ressip 16980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
64	63	oveqd 7272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))
65	64	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))
66	65	mpteq2dv 5172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
67	61, 66	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
68	58, 3	lssss 20113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
69	68	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70		dfss 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
71	69, 70	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
72	67, 71	reseq12d 5881	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
73	2, 58	ressbas 16873	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
75	74	reseq2d 5880	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
76	72, 75	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
77	2, 58	ressbasss 16876	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	resmptd 5937	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
80	57, 76, 79	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
81		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82		eqid 2738	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
83		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85	81, 82, 55, 83, 84	iscph 24239	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))))
86	19, 50, 80, 85	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  √csqrt 14872  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  ·_𝑖cip 16893  SubGrpcsubg 18664  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  ℂ_fldccnfld 20510  PreHilcphl 20741  normcnm 23638  NrmModcnlm 23642  ℂPreHilccph 24235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ds 16910  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-phl 20743  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nlm 23648  df-cph 24237

This theorem is referenced by:  cphssphl  24440  cmslsschl  24446  chlcsschl  24447