Theorem cphsscph 23855

Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsscph.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphsscph.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsscph	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph

Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 23776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cphsscph.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphsscph.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	phlssphl 20348	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
5	1, 4	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6		cphnlm 23777	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
7	2, 3	lssnlm 23307	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
8	6, 7	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	cphsca 23784	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
13	2, 9	resssca 16642	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
15	14	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
16	13, 15	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
18	12, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
19	5, 8, 18	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21		elinel1 4122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24		elrege0 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
25	24	simplbi 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
28	24	simprbi 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
31	22, 27, 30	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
32	9, 10	cphsqrtcl 23789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	20, 31, 32	syl2anr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34		eleq1 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
35	34	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
37	33, 36	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
39	38	rexlimiva 3240	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40		df-sqrt 14586	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
41	40	funmpt2 6363	. . . . . 6 ⊢ Fun √
42		fvelima 6706	. . . . . 6 ⊢ ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
43	41, 42	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
44	39, 43	syl11 33	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	ssrdv 3921	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
46	14	ineq1d 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
47	46	imaeq2d 5896	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
48	47, 14	sseq12d 3948	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
49	48	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
50	45, 49	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51		cphlmod 23779	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
52	3	lsssubg 19722	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	51, 52	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
56	2, 54, 55	subgnm 23239	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
57	53, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
60	58, 59, 54	cphnmfval 23797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
61	60	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
62	2, 59	ressip 16644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
63	62	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
64	63	oveqd 7152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))
65	64	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))
66	65	mpteq2dv 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
67	61, 66	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
68	58, 3	lssss 19701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
69	68	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70		dfss 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
71	69, 70	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
72	67, 71	reseq12d 5819	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
73	2, 58	ressbas 16546	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
74	73	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
75	74	reseq2d 5818	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
76	72, 75	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
77	2, 58	ressbasss 16548	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	resmptd 5875	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
80	57, 76, 79	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
81		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82		eqid 2798	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
83		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85	81, 82, 55, 83, 84	iscph 23775	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))))
86	19, 50, 80, 85	syl3anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  ℩crio 7092  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  ici 10528   · cmul 10531  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  [,)cico 12728  ↑cexp 13425  ℜcre 14448  √csqrt 14584  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  ·_𝑖cip 16562  SubGrpcsubg 18265  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  ℂ_fldccnfld 20091  PreHilcphl 20313  normcnm 23183  NrmModcnlm 23187  ℂPreHilccph 23771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-phl 20315  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nlm 23193  df-cph 23773

This theorem is referenced by:  cphssphl  23975  cmslsschl  23981  chlcsschl  23982