Theorem cphsscph 25178

Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsscph.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphsscph.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsscph	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph

Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 25098	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cphsscph.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphsscph.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	phlssphl 21596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
5	1, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6		cphnlm 25099	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
7	2, 3	lssnlm 24616	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
8	6, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	cphsca 25106	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
13	2, 9	resssca 17247	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
15	14	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
16	13, 15	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
18	12, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
19	5, 8, 18	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21		elinel1 4148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23		elinel2 4149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24		elrege0 13354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
25	24	simplbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
28	24	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
31	22, 27, 30	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
32	9, 10	cphsqrtcl 25111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	20, 31, 32	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
37	33, 36	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
39	38	rexlimiva 3125	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40		df-sqrt 15142	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
41	40	funmpt2 6520	. . . . . 6 ⊢ Fun √
42		fvelima 6887	. . . . . 6 ⊢ ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
43	41, 42	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
44	39, 43	syl11 33	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	ssrdv 3935	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
46	14	ineq1d 4166	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
47	46	imaeq2d 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
48	47, 14	sseq12d 3963	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
50	45, 49	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51		cphlmod 25101	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
52	3	lsssubg 20890	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	51, 52	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
56	2, 54, 55	subgnm 24548	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
57	53, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
60	58, 59, 54	cphnmfval 25119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
62	2, 59	ressip 17249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
64	63	oveqd 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))
65	64	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))
66	65	mpteq2dv 5183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
67	61, 66	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
68	58, 3	lssss 20869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
69	68	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70		dfss 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
71	69, 70	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
72	67, 71	reseq12d 5928	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
73	2, 58	ressbas 17147	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
74	73	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
75	74	reseq2d 5927	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
76	72, 75	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
77	2, 58	ressbasss 17150	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	resmptd 5988	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
80	57, 76, 79	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
81		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82		eqid 2731	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
83		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85	81, 82, 55, 83, 84	iscph 25097	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))))
86	19, 50, 80, 85	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616   “ cima 5617  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  ici 11008   · cmul 11011  +∞cpnf 11143   ≤ cle 11147  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890  [,)cico 13247  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  √csqrt 15140  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Scalarcsca 17164  ·_𝑖cip 17166  SubGrpcsubg 19033  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  ℂ_fldccnfld 21291  PreHilcphl 21561  normcnm 24491  NrmModcnlm 24495  ℂPreHilccph 25093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-phl 21563  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nlm 24501  df-cph 25095

This theorem is referenced by:  cphssphl  25298  cmslsschl  25304  chlcsschl  25305