MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsscph 25299
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 25219 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3phlssphl 21695 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 25220 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24738 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2735 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
119, 10cphsca 25227 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1211adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
132, 9resssca 17389 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
1514oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
1613, 15eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1812, 17mpbid 232 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
195, 8, 183jca 1127 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21 elinel1 4211 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23 elinel2 4212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
2524simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
2824simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
3122, 27, 303jca 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
329, 10cphsqrtcl 25232 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3320, 31, 32syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3733, 36mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3837ex 412 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3938rexlimiva 3145 . . . . 5 (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40 df-sqrt 15271 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
4140funmpt2 6607 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6974 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4341, 42mpan 690 . . . . 5 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4544ssrdv 4001 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4614ineq1d 4227 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6080 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4029 . . . 4 (𝑈𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
4948adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
5045, 49mpbid 232 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51 cphlmod 25222 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
523lsssubg 20973 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5351, 52sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54 eqid 2735 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55 eqid 2735 . . . . 5 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
562, 54, 55subgnm 24662 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
5753, 56syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59 eqid 2735 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
6058, 59, 54cphnmfval 25240 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
6160adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
622, 59ressip 17391 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6463oveqd 7448 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏(·𝑖𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))
6564fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))
6665mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6858, 3lssss 20952 . . . . . . 7 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
6968adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70 dfss 3982 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7169, 70sylib 218 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7267, 71reseq12d 6001 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
732, 58ressbas 17280 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7473adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7574reseq2d 6000 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
7672, 75eqtrd 2775 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
772, 58ressbasss 17284 . . . . 5 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
7877a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
7978resmptd 6060 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2779 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
81 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82 eqid 2735 . . 3 (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑋)
83 eqid 2735 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2735 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 25218 . 2 (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1342 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  wrex 3068  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  cle 11294  2c2 12319  +crp 13032  [,)cico 13386  cexp 14099  cre 15133  csqrt 15269  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  ·𝑖cip 17303  SubGrpcsubg 19151  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  fldccnfld 21382  PreHilcphl 21660  normcnm 24605  NrmModcnlm 24609  ℂPreHilccph 25214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-phl 21662  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nlm 24615  df-cph 25216
This theorem is referenced by:  cphssphl  25419  cmslsschl  25425  chlcsschl  25426
  Copyright terms: Public domain W3C validator