MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsscph 24775
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 π‘ž π‘₯ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 24695 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3phlssphl 21218 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 24696 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24225 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
119, 10cphsca 24703 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
1211adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
132, 9resssca 17290 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
1514oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
1613, 15eqeq12d 2748 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1716adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1812, 17mpbid 231 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
195, 8, 183jca 1128 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
20 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
21 elinel1 4195 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
23 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13433 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
2524simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2824simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ π‘ž)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3029adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3122, 27, 303jca 1128 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
329, 10cphsqrtcl 24708 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3320, 31, 32syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
34 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3733, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3837ex 413 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3938rexlimiva 3147 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
40 df-sqrt 15184 . . . . . . 7 √ = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (℩𝑐 ∈ β„‚ ((𝑐↑2) = π‘₯ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜π‘) ∧ (i Β· 𝑐) βˆ‰ ℝ+)))
4140funmpt2 6587 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6957 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4341, 42mpan 688 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4544ssrdv 3988 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4614ineq1d 4211 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6059 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4015 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
4948adantl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
5045, 49mpbid 231 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
51 cphlmod 24698 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
523lsssubg 20573 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5351, 52sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
54 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
55 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
562, 54, 55subgnm 24149 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
5753, 56syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
59 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6058, 59, 54cphnmfval 24716 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
6160adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
622, 59ressip 17292 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6463oveqd 7428 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏) = (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))
6564fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏)) = (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))
6665mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2772 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6858, 3lssss 20552 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
6968adantl 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
70 dfss 3966 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ↔ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7169, 70sylib 217 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7267, 71reseq12d 5982 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
732, 58ressbas 17181 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7473adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7574reseq2d 5981 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
7672, 75eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
772, 58ressbasss 17185 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
7877a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
7978resmptd 6040 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2776 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
81 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
82 eqid 2732 . . 3 (Β·π‘–β€˜π‘‹) = (Β·π‘–β€˜π‘‹)
83 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 24694 . 2 (𝑋 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1343 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ‰ wnel 3046  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   ≀ cle 11251  2c2 12269  β„+crp 12976  [,)cico 13328  β†‘cexp 14029  β„œcre 15046  βˆšcsqrt 15182  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  Scalarcsca 17202  Β·π‘–cip 17204  SubGrpcsubg 19002  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  β„‚fldccnfld 20950  PreHilcphl 21183  normcnm 24092  NrmModcnlm 24096  β„‚PreHilccph 24690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ds 17221  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lmhm 20638  df-lvec 20719  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-phl 21185  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nlm 24102  df-cph 24692
This theorem is referenced by:  cphssphl  24895  cmslsschl  24901  chlcsschl  24902
  Copyright terms: Public domain W3C validator