MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsscph 23342
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 23263 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
21anim1i 608 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆))
3 cphsscph.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
4 cphsscph.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
53, 4phlssphl 20293 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
7 cphnvc 23268 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmVec)
8 nvcnlm 22793 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
109anim1i 608 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆))
113, 4lssnlm 22798 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
1210, 11syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
13 eqid 2765 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1513, 14cphsca 23271 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
173, 13resssca 16317 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1817fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
1918oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
2017, 19eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
2216, 21mpbid 223 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
236, 12, 223jca 1158 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
24 funmpt 6108 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
25 df-sqrt 14274 . . . . . . . . . 10 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
2625funeqi 6091 . . . . . . . . 9 (Fun √ ↔ Fun (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+))))
2724, 26mpbir 222 . . . . . . . 8 Fun √
28 fvelima 6441 . . . . . . . . 9 ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
2928ex 401 . . . . . . . 8 (Fun √ → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥))
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
31 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
33 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35 elinel2 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
36 elrege0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
37 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
3836, 37sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
41 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞) → 0 ≤ 𝑞)
4236, 41sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
4335, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
4534, 40, 443jca 1158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
4732, 46jca 507 . . . . . . . . . . 11 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)))
4813, 14cphsqrtcl 23276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
50 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5150adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5251adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5349, 52mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5453ex 401 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5554rexlimiva 3175 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5630, 55syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5756com12 32 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5857ssrdv 3769 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5918ineq1d 3977 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
6059imaeq2d 5650 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
6160, 18sseq12d 3796 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
6261adantl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
6358, 62mpbid 223 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
64 cphlmod 23266 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6564anim1i 608 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆))
664lsssubg 19243 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6765, 66syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
68 eqid 2765 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
69 eqid 2765 . . . . . 6 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
703, 68, 69subgnm 22730 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
7167, 70syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
72 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
73 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
7472, 73, 68cphnmfval 23284 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
7574adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
76 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑋)
773, 73, 76ssipeq 20290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑊))
7877eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
8079oveqd 6863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏(·𝑖𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))
8180fveq2d 6383 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))
8281mpteq2dv 4906 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8375, 82eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8483reseq1d 5566 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ 𝑈))
8572, 4lssss 19220 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8685adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
87 dfss 3749 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
8886, 87sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
8988reseq2d 5567 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
9084, 89eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
91 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈𝑆)
923, 72ressbas 16216 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
9493reseq2d 5567 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
9590, 94eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
963, 72ressbasss 16218 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
9796a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
9897resmptd 5631 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
9995, 98eqtrd 2799 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
10071, 99eqtrd 2799 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
10123, 63, 1003jca 1158 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
102 eqid 2765 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
103 eqid 2765 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
104 eqid 2765 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
105102, 76, 69, 103, 104iscph 23262 . 2 (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
106101, 105sylibr 225 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnel 3040  wrex 3056  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cres 5281  cima 5282  Fun wfun 6064  cfv 6070  crio 6806  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  ici 10195   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  cle 10333  2c2 11331  +crp 12033  [,)cico 12384  cexp 13072  cre 14136  csqrt 14272  Basecbs 16144  s cress 16145  Scalarcsca 16231  ·𝑖cip 16233  SubGrpcsubg 17866  LModclmod 19146  LSubSpclss 19215  fldccnfld 20033  PreHilcphl 20258  normcnm 22674  NrmModcnlm 22678  NrmVeccnvc 22679  ℂPreHilccph 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12388  df-seq 13014  df-exp 13073  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ds 16250  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-topgen 16384  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-lmhm 19308  df-lvec 19389  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-phl 20260  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-xms 22418  df-ms 22419  df-nm 22680  df-ngp 22681  df-nlm 22684  df-nvc 22685  df-cph 23260
This theorem is referenced by:  cphssphl  23462  cmslsschl  23468  chlcsschl  23469
  Copyright terms: Public domain W3C validator