Theorem cphsscph 25381

Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsscph.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphsscph.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsscph	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph

Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 25301	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cphsscph.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphsscph.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	phlssphl 21780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
5	1, 4	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6		cphnlm 25302	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
7	2, 3	lssnlm 24829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
8	6, 7	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	cphsca 25309	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
13	2, 9	resssca 17398	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
15	14	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
16	13, 15	eqeq12d 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
17	16	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
18	12, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
19	5, 8, 18	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21		elinel1 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23		elinel2 4163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24		elrege0 13483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
25	24	simplbi 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
28	24	simprbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
29	23, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
31	22, 27, 30	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
32	9, 10	cphsqrtcl 25314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	20, 31, 32	syl2anr 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
35	34	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
36	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
37	33, 36	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
39	38	rexlimiva 3164	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40		df-sqrt 15288	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
41	40	funmpt2 6578	. . . . . 6 ⊢ Fun √
42		fvelima 6949	. . . . . 6 ⊢ ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
43	41, 42	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
44	39, 43	syl11 34	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	ssrdv 3951	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
46	14	ineq1d 4180	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
47	46	imaeq2d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
48	47, 14	sseq12d 3978	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
49	48	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
50	45, 49	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51		cphlmod 25304	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
52	3	lsssubg 21058	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	51, 52	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
56	2, 54, 55	subgnm 24761	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
57	53, 56	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
60	58, 59, 54	cphnmfval 25322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
61	60	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
62	2, 59	ressip 17400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
63	62	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
64	63	oveqd 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))
65	64	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))
66	65	mpteq2dv 5209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
67	61, 66	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
68	58, 3	lssss 21037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
69	68	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70		dfss 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
71	69, 70	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
72	67, 71	reseq12d 5982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
73	2, 58	ressbas 17298	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
74	73	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
75	74	reseq2d 5981	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
76	72, 75	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
77	2, 58	ressbasss 17301	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	resmptd 6045	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
80	57, 76, 79	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
81		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82		eqid 2769	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
83		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85	81, 82, 55, 83, 84	iscph 25300	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))))
86	19, 50, 80, 85	syl3anbrc 1360	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5666   “ cima 5667  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  ℝcr 11101  0cc0 11102  ici 11104   · cmul 11107  +∞cpnf 11242   ≤ cle 11246  2c2 12297  ℝ⁺crp 13018  [,)cico 13376  ↑cexp 14099  ℜcre 15150  √csqrt 15286  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  Scalarcsca 17315  ·_𝑖cip 17317  SubGrpcsubg 19188  LModclmod 20961  LSubSpclss 21032  ℂ_fldccnfld 21493  PreHilcphl 21745  normcnm 24704  NrmModcnlm 24708  ℂPreHilccph 25296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ico 13380  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ds 17334  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-topgen 17498  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-lmhm 21123  df-lvec 21204  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-phl 21747  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-xms 24448  df-ms 24449  df-nm 24710  df-ngp 24711  df-nlm 24714  df-cph 25298

This theorem is referenced by:  cphssphl  25501  cmslsschl  25507  chlcsschl  25508