Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsscph 23834
 Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 23755 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3phlssphl 20779 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 582 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 23756 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 23286 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 582 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2820 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
119, 10cphsca 23763 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
1211adantr 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
132, 9resssca 16629 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1413fveq2d 6650 . . . . . . 7 (𝑈𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
1514oveq2d 7149 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
1613, 15eqeq12d 2836 . . . . 5 (𝑈𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1716adantl 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
1812, 17mpbid 234 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋))))
195, 8, 183jca 1124 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20 simpl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21 elinel1 4150 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2221adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23 elinel2 4151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 12823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
2524simplbi 500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2726adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
2824simprbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
3029adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
3122, 27, 303jca 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
329, 10cphsqrtcl 23768 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3320, 31, 32syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 eleq1 2898 . . . . . . . . . 10 ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3635adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3733, 36mpbid 234 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3837ex 415 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
3938rexlimiva 3268 . . . . 5 (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40 df-sqrt 14574 . . . . . . 7 √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
4140funmpt2 6370 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6707 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4341, 42mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
4544ssrdv 3952 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4614ineq1d 4166 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 5905 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 3979 . . . 4 (𝑈𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
4948adantl 484 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
5045, 49mpbid 234 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51 cphlmod 23758 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
523lsssubg 19705 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5351, 52sylan 582 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54 eqid 2820 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55 eqid 2820 . . . . 5 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
562, 54, 55subgnm 23218 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
5753, 56syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58 eqid 2820 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59 eqid 2820 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
6058, 59, 54cphnmfval 23776 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
6160adantr 483 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))))
622, 59ressip 16631 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆 → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6362adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑋))
6463oveqd 7150 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏(·𝑖𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))
6564fveq2d 6650 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))
6665mpteq2dv 5138 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2855 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
6858, 3lssss 19684 . . . . . . 7 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
6968adantl 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70 dfss 3931 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7169, 70sylib 220 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
7267, 71reseq12d 5830 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
732, 58ressbas 16533 . . . . . 6 (𝑈𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7473adantl 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
7574reseq2d 5829 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
7672, 75eqtrd 2855 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
772, 58ressbasss 16535 . . . . 5 (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
7877a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
7978resmptd 5884 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2859 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏))))
81 eqid 2820 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82 eqid 2820 . . 3 (·𝑖𝑋) = (·𝑖𝑋)
83 eqid 2820 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84 eqid 2820 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 23754 . 2 (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖𝑋)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1339 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3110  ∃wrex 3126   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   ↾ cres 5533   “ cima 5534  Fun wfun 6325  ‘cfv 6331  ℩crio 7090  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  ℝcr 10514  0cc0 10515  ici 10517   · cmul 10520  +∞cpnf 10650   ≤ cle 10654  2c2 11671  ℝ+crp 12368  [,)cico 12719  ↑cexp 13414  ℜcre 14436  √csqrt 14572  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  Scalarcsca 16547  ·𝑖cip 16549  SubGrpcsubg 18252  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  ℂfldccnfld 20521  PreHilcphl 20744  normcnm 23162  NrmModcnlm 23166  ℂPreHilccph 23750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ico 12723  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ds 16566  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lmhm 19770  df-lvec 19851  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-phl 20746  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-xms 22906  df-ms 22907  df-nm 23168  df-ngp 23169  df-nlm 23172  df-cph 23752 This theorem is referenced by:  cphssphl  23954  cmslsschl  23960  chlcsschl  23961
 Copyright terms: Public domain W3C validator