MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsscph 24759
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 π‘ž π‘₯ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 24679 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3phlssphl 21203 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 24680 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24209 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
119, 10cphsca 24687 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
1211adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
132, 9resssca 17284 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413fveq2d 6892 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
1514oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
1613, 15eqeq12d 2748 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1716adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1812, 17mpbid 231 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
195, 8, 183jca 1128 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
20 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
21 elinel1 4194 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
23 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
2524simplbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2824simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ π‘ž)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3029adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3122, 27, 303jca 1128 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
329, 10cphsqrtcl 24692 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3320, 31, 32syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
34 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3733, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3837ex 413 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3938rexlimiva 3147 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
40 df-sqrt 15178 . . . . . . 7 √ = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (℩𝑐 ∈ β„‚ ((𝑐↑2) = π‘₯ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜π‘) ∧ (i Β· 𝑐) βˆ‰ ℝ+)))
4140funmpt2 6584 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6954 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4341, 42mpan 688 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4544ssrdv 3987 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4614ineq1d 4210 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6057 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4014 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
4948adantl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
5045, 49mpbid 231 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
51 cphlmod 24682 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
523lsssubg 20560 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5351, 52sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
54 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
55 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
562, 54, 55subgnm 24133 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
5753, 56syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
59 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6058, 59, 54cphnmfval 24700 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
6160adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
622, 59ressip 17286 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6463oveqd 7422 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏) = (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))
6564fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏)) = (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))
6665mpteq2dv 5249 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2772 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6858, 3lssss 20539 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
6968adantl 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
70 dfss 3965 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ↔ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7169, 70sylib 217 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7267, 71reseq12d 5980 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
732, 58ressbas 17175 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7473adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7574reseq2d 5979 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
7672, 75eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
772, 58ressbasss 17179 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
7877a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
7978resmptd 6038 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2776 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
81 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
82 eqid 2732 . . 3 (Β·π‘–β€˜π‘‹) = (Β·π‘–β€˜π‘‹)
83 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 24678 . 2 (𝑋 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1343 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ‰ wnel 3046  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  ici 11108   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   ≀ cle 11245  2c2 12263  β„+crp 12970  [,)cico 13322  β†‘cexp 14023  β„œcre 15040  βˆšcsqrt 15176  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196  Β·π‘–cip 17198  SubGrpcsubg 18994  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  β„‚fldccnfld 20936  PreHilcphl 21168  normcnm 24076  NrmModcnlm 24080  β„‚PreHilccph 24674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-phl 21170  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-cph 24676
This theorem is referenced by:  cphssphl  24879  cmslsschl  24885  chlcsschl  24886
  Copyright terms: Public domain W3C validator