MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsscph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsscph 24768
Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsscph.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cphsscph.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cphsscph ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Proof of Theorem cphsscph
Dummy variables 𝑏 π‘ž π‘₯ 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 24688 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 cphsscph.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 cphsscph.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3phlssphl 21212 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
51, 4sylan 581 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ PreHil)
6 cphnlm 24689 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
72, 3lssnlm 24218 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
86, 7sylan 581 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
119, 10cphsca 24696 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
1211adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
132, 9resssca 17288 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1413fveq2d 6896 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
1514oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
1613, 15eqeq12d 2749 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1716adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Š) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ↔ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
1812, 17mpbid 231 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
195, 8, 183jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))))
20 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
21 elinel1 4196 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
23 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ (0[,)+∞))
24 elrege0 13431 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
2524simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2824simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ π‘ž)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘ž)
3122, 27, 303jca 1129 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž))
329, 10cphsqrtcl 24701 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘ž)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3320, 31, 32syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ (βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
34 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 ((βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3635adantr 482 . . . . . . . 8 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘ž) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3733, 36mpbid 231 . . . . . . 7 (((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) ∧ (π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3837ex 414 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯) β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3938rexlimiva 3148 . . . . 5 (βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯ β†’ ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
40 df-sqrt 15182 . . . . . . 7 √ = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (℩𝑐 ∈ β„‚ ((𝑐↑2) = π‘₯ ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜π‘) ∧ (i Β· 𝑐) βˆ‰ ℝ+)))
4140funmpt2 6588 . . . . . 6 Fun √
42 fvelima 6958 . . . . . 6 ((Fun √ ∧ π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4341, 42mpan 689 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘ž) = π‘₯)
4439, 43syl11 33 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4544ssrdv 3989 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4614ineq1d 4212 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞)))
4746imaeq2d 6060 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))))
4847, 14sseq12d 4016 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
4948adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))))
5045, 49mpbid 231 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
51 cphlmod 24691 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
523lsssubg 20568 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5351, 52sylan 581 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
54 eqid 2733 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
55 eqid 2733 . . . . 5 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
562, 54, 55subgnm 24142 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
5753, 56syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ))
58 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
59 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6058, 59, 54cphnmfval 24709 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
6160adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))))
622, 59ressip 17290 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6362adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘‹))
6463oveqd 7426 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏) = (𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))
6564fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏)) = (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))
6665mpteq2dv 5251 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6761, 66eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘Š) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
6858, 3lssss 20547 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
6968adantl 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
70 dfss 3967 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ↔ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7169, 70sylib 217 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
7267, 71reseq12d 5983 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))))
732, 58ressbas 17179 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7473adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘‹))
7574reseq2d 5982 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (π‘ˆ ∩ (Baseβ€˜π‘Š))) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
7672, 75eqtrd 2773 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((normβ€˜π‘Š) β†Ύ π‘ˆ) = ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
772, 58ressbasss 17183 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
7877a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
7978resmptd 6041 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))) β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
8057, 76, 793eqtrd 2777 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏))))
81 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
82 eqid 2733 . . 3 (Β·π‘–β€˜π‘‹) = (Β·π‘–β€˜π‘‹)
83 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
84 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
8581, 82, 55, 83, 84iscph 24687 . 2 (𝑋 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ (normβ€˜π‘‹) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ↦ (βˆšβ€˜(𝑏(Β·π‘–β€˜π‘‹)𝑏)))))
8619, 50, 80, 85syl3anbrc 1344 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  2c2 12267  β„+crp 12974  [,)cico 13326  β†‘cexp 14027  β„œcre 15044  βˆšcsqrt 15180  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Scalarcsca 17200  Β·π‘–cip 17202  SubGrpcsubg 19000  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  β„‚fldccnfld 20944  PreHilcphl 21177  normcnm 24085  NrmModcnlm 24089  β„‚PreHilccph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-phl 21179  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-cph 24685
This theorem is referenced by:  cphssphl  24888  cmslsschl  24894  chlcsschl  24895
  Copyright terms: Public domain W3C validator