Theorem cphsscph 23856

Description: A subspace of a subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 25-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsscph.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cphsscph.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphsscph	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem cphsscph

Dummy variables 𝑏 𝑞 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 23777	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cphsscph.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		cphsscph.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	phlssphl 20805	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
5	1, 4	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ PreHil)
6		cphnlm 23778	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
7	2, 3	lssnlm 23312	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
8	6, 7	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
9		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	cphsca 23785	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
13	2, 9	resssca 16652	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	13	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
15	14	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
16	13, 15	eqeq12d 2839	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
17	16	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
18	12, 17	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋))))
19	5, 8, 18	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))))
20		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
21		elinel1 4174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
24		elrege0 12845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
25	24	simplbi 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 𝑞 ∈ ℝ)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 𝑞 ∈ ℝ)
27	26	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 𝑞 ∈ ℝ)
28	24	simprbi 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑞)
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝑞)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → 0 ≤ 𝑞)
31	22, 27, 30	3jca 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞))
32	9, 10	cphsqrtcl 23790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	20, 31, 32	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → (√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34		eleq1 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘𝑞) = 𝑥 → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
35	34	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
36	35	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → ((√‘𝑞) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
37	33, 36	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) ∧ (𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
38	37	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) ∧ (√‘𝑞) = 𝑥) → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
39	38	rexlimiva 3283	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥 → ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
40		df-sqrt 14596	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑐 ∈ ℂ ((𝑐↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑐) ∧ (i · 𝑐) ∉ ℝ+)))
41	40	funmpt2 6396	. . . . . 6 ⊢ Fun √
42		fvelima 6733	. . . . . 6 ⊢ ((Fun √ ∧ 𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
43	41, 42	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → ∃𝑞 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑞) = 𝑥)
44	39, 43	syl11 33	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))))
45	44	ssrdv 3975	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
46	14	ineq1d 4190	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞)) = ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞)))
47	46	imaeq2d 5931	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) = (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))))
48	47, 14	sseq12d 4002	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
49	48	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋))))
50	45, 49	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
51		cphlmod 23780	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
52	3	lsssubg 19731	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	51, 52	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
54		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
55		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
56	2, 54, 55	subgnm 23244	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
57	53, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈))
58		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
59		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
60	58, 59, 54	cphnmfval 23798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
61	60	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))))
62	2, 59	ressip 16654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
63	62	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑋))
64	63	oveqd 7175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏) = (𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))
65	64	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏)) = (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))
66	65	mpteq2dv 5164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑊)𝑏))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
67	61, 66	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑊) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
68	58, 3	lssss 19710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
69	68	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
70		dfss 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ↔ 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
71	69, 70	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)))
72	67, 71	reseq12d 5856	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))))
73	2, 58	ressbas 16556	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
74	73	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑋))
75	74	reseq2d 5855	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (𝑈 ∩ (Base‘𝑊))) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
76	72, 75	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((norm‘𝑊) ↾ 𝑈) = ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)))
77	2, 58	ressbasss 16558	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)
78	77	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	resmptd 5910	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))) ↾ (Base‘𝑋)) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
80	57, 76, 79	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏))))
81		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
82		eqid 2823	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
83		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
84		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
85	81, 82, 55, 83, 84	iscph 23776	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑋 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑋) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑋)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑋)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ (norm‘𝑋) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (√‘(𝑏(·𝑖‘𝑋)𝑏)))))
86	19, 50, 80, 85	syl3anbrc 1339	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3125  ∃wrex 3141   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   ↾ cres 5559   “ cima 5560  Fun wfun 6351  ‘cfv 6357  ℩crio 7115  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  ici 10541   · cmul 10544  +∞cpnf 10674   ≤ cle 10678  2c2 11695  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  ↑cexp 13432  ℜcre 14458  √csqrt 14594  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  Scalarcsca 16570  ·_𝑖cip 16572  SubGrpcsubg 18275  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  ℂ_fldccnfld 20547  PreHilcphl 20770  normcnm 23188  NrmModcnlm 23192  ℂPreHilccph 23772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ico 12747  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ds 16589  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-topgen 16719  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-phl 20772  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-xms 22932  df-ms 22933  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-nlm 23198  df-cph 23774

This theorem is referenced by:  cphssphl  23976  cmslsschl  23982  chlcsschl  23983