Theorem cphnmvs 24425

Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphnmvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphnmvs.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmvs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphnmvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmvs	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem cphnmvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 24407	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		cphnmvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphnmvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4		cphnmvs.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		cphnmvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cphnmvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	nmvs 23911	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
9	1, 8	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
10		cphclm 24424	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	5, 6	clmabs 24317	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
12	10, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
13	12	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
14	13	oveq1d 7328	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
15	9, 14	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313   · cmul 10946  abscabs 15014  Basecbs 16979  Scalarcsca 17032   ·_𝑠 cvsca 17033  normcnm 23803  NrmModcnlm 23807  ℂModcclm 24296  ℂPreHilccph 24401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-sup 9269  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-rp 12801  df-fz 13310  df-seq 13792  df-exp 13853  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-subg 18819  df-cmn 19455  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-drng 20064  df-subrg 20093  df-lvec 20436  df-cnfld 20669  df-phl 20902  df-nm 23809  df-nlm 23813  df-clm 24297  df-cph 24403

This theorem is referenced by:  minveclem2  24661