MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmvs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphnmvs 24606
Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphnmvs.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphnmvs.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphnmvs.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cphnmvs.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphnmvs.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphnmvs ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem cphnmvs
StepHypRef Expression
1 cphnlm 24588 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 cphnmvs.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 cphnmvs.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
4 cphnmvs.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 cphnmvs.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 cphnmvs.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
7 eqid 2731 . . . 4 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
82, 3, 4, 5, 6, 7nmvs 24092 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
91, 8syl3an1 1163 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
10 cphclm 24605 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
115, 6clmabs 24498 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
1210, 11sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
13123adant3 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜π‘‹) = ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹))
1413oveq1d 7392 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((absβ€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
159, 14eqtr4d 2774 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((absβ€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   Β· cmul 11080  abscabs 15146  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  normcnm 23984  NrmModcnlm 23988  β„‚Modcclm 24477  β„‚PreHilccph 24582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-subg 18954  df-cmn 19593  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-drng 20242  df-subrg 20283  df-lvec 20636  df-cnfld 20849  df-phl 21082  df-nm 23990  df-nlm 23994  df-clm 24478  df-cph 24584
This theorem is referenced by:  minveclem2  24842
  Copyright terms: Public domain W3C validator