Theorem cphnmvs 25526

Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphnmvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphnmvs.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmvs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphnmvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmvs	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem cphnmvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25508	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		cphnmvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphnmvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4		cphnmvs.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		cphnmvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cphnmvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	nmvs 25010	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
9	1, 8	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
10		cphclm 25525	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	5, 6	clmabs 25419	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
13	12	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
14	13	oveq1d 7445	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
15	9, 14	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   · cmul 11218  abscabs 15416  Basecbs 17402  Scalarcsca 17446   ·_𝑠 cvsca 17447  normcnm 24910  NrmModcnlm 24914  ℂModcclm 25398  ℂPreHilccph 25502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-lvec 21393  df-cnfld 21694  df-phl 21947  df-nm 24916  df-nlm 24920  df-clm 25399  df-cph 25504

This theorem is used by:  minveclem2  25762