Theorem cphnmvs 25171

Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphnmvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphnmvs.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmvs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphnmvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmvs	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Proof of Theorem cphnmvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25153	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		cphnmvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		cphnmvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4		cphnmvs.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		cphnmvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		cphnmvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	nmvs 24655	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
9	1, 8	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
10		cphclm 25170	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
11	5, 6	clmabs 25064	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
12	10, 11	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
13	12	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
14	13	oveq1d 7377	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
15	9, 14	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   · cmul 11038  abscabs 15191  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  normcnm 24555  NrmModcnlm 24559  ℂModcclm 25043  ℂPreHilccph 25147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-lvec 21094  df-cnfld 21349  df-phl 21620  df-nm 24561  df-nlm 24565  df-clm 25044  df-cph 25149

This theorem is referenced by:  minveclem2  25407