MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 25122
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcn.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
ipcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
ipcn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
ipcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
ipcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ipcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
ipcn.1 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
ipcn.2 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 ipcn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 ipcn.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
64, 5cphipcl 25069 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
8 ipcn.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
104, 5cphipcl 25069 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
111, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
124, 5cphipcl 25069 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
131, 2, 9, 12syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
14 ipcn.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 13019 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11572 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
1716abscld 15386 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 25050 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24544 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
234, 22nmcl 24475 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 24476 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2621, 2, 25syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2724, 26ge0p1rpd 13049 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 13019 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 24459 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
324, 31mscl 24317 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11245 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12460 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11245 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
37 eqid 2726 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
385, 4, 37cphsubdi 25087 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
4039fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) = (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))))
41 ngpgrp 24458 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 18945 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 25116 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
4722, 4, 37, 31ngpds 24463 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4948oveq2d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
5046, 49breqtrrd 5169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5140, 50eqbrtrrd 5165 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
52 msxms 24310 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ MetSp β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 24319 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5624lep1d 12146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ≀ ((π‘β€˜π΄) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12154 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11372 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
6159, 60breqtrdi 5182 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13067 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2) ↔ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))))
6361, 62mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11373 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11572 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
6665abscld 15386 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 24317 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 24475 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 13031 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 13036 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11244 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11245 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 24475 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11245 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 25086 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
8281fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) = (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))))
834, 37grpsubcl 18945 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 25116 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
8722, 4, 37, 31ngpds 24463 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8988oveq1d 7419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9086, 89breqtrrd 5169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9182, 90eqbrtrrd 5165 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
924, 31xmsge0 24319 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11643 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 24484 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 24464 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9996, 98breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π΅π·π‘Œ))
10033, 74, 59ltled 11363 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ≀ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇 ↔ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12155 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11372 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
107 ipcn.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5182 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
109 0red 11218 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 24476 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11121, 3, 110syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11270, 73ltaddrpd 13052 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12088 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))) β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11373 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15411 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  abscabs 15184  Basecbs 17150  Β·π‘–cip 17208  distcds 17212  Grpcgrp 18860  -gcsg 18862  βˆžMetSpcxms 24173  MetSpcms 24174  normcnm 24435  NrmGrpcngp 24436  NrmModcnlm 24439  β„‚PreHilccph 25044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-xrs 17454  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-staf 20685  df-srng 20686  df-lmod 20705  df-lmhm 20867  df-lvec 20948  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-phl 21514  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-xms 24176  df-ms 24177  df-nm 24441  df-ngp 24442  df-tng 24443  df-nlm 24445  df-clm 24940  df-cph 25046  df-tcph 25047
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25123
  Copyright terms: Public domain W3C validator