MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 25159
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (𝜑𝑋𝑉)
ipcn.y (𝜑𝑌𝑉)
ipcn.1 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 ipcn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 ipcn.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
64, 5cphipcl 25106 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
71, 2, 3, 6syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8 ipcn.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
104, 5cphipcl 25106 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
111, 8, 9, 10syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
124, 5cphipcl 25106 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝑌𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
131, 2, 9, 12syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14 ipcn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 13040 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11593 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
1716abscld 15407 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 25087 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24581 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
234, 22nmcl 24512 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 24513 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2621, 2, 25syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2724, 26ge0p1rpd 13070 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 13040 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 24496 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑊)
324, 31mscl 24354 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11266 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12481 . . 3 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11266 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37 eqid 2727 . . . . . . . 8 (-g𝑊) = (-g𝑊)
385, 4, 37cphsubdi 25124 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
4039fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41 ngpgrp 24495 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 18967 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 25153 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
4722, 4, 37, 31ngpds 24500 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4948oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
5046, 49breqtrrd 5170 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
5140, 50eqbrtrrd 5166 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52 msxms 24347 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 24356 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5624lep1d 12167 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁𝐴) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12175 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11393 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
6159, 60breqtrdi 5183 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13088 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))))
6361, 62mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11394 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11593 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
6665abscld 15407 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 24354 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 24512 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 13052 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 13057 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2832 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 13040 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11265 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11266 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 24512 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11266 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 25123 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
8281fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
834, 37grpsubcl 18967 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 25153 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
8722, 4, 37, 31ngpds 24500 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8988oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
9086, 89breqtrrd 5170 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
9182, 90eqbrtrrd 5166 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
924, 31xmsge0 24356 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11664 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 24521 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 24501 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9996, 98breqtrrd 5170 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
10033, 74, 59ltled 11384 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11393 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11835 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12176 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11393 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107 ipcn.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5183 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
109 0red 11239 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 24513 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11121, 3, 110syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11270, 73ltaddrpd 13073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11394 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12109 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11394 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15432 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  +crp 12998  abscabs 15205  Basecbs 17171  ·𝑖cip 17229  distcds 17233  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  ∞MetSpcxms 24210  MetSpcms 24211  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmModcnlm 24476  ℂPreHilccph 25081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-xrs 17475  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lmhm 20896  df-lvec 20977  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-phl 21545  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-tng 24480  df-nlm 24482  df-clm 24977  df-cph 25083  df-tcph 25084
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25160
  Copyright terms: Public domain W3C validator