MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 24608
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (𝜑𝑋𝑉)
ipcn.y (𝜑𝑌𝑉)
ipcn.1 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 ipcn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 ipcn.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
64, 5cphipcl 24555 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8 ipcn.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
104, 5cphipcl 24555 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
111, 8, 9, 10syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
124, 5cphipcl 24555 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝑌𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
131, 2, 9, 12syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14 ipcn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 12957 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11512 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
1716abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 24536 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24041 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
234, 22nmcl 23972 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 23973 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2621, 2, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2724, 26ge0p1rpd 12987 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 12957 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 23956 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑊)
324, 31mscl 23814 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11185 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12400 . . 3 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37 eqid 2736 . . . . . . . 8 (-g𝑊) = (-g𝑊)
385, 4, 37cphsubdi 24573 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
4039fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41 ngpgrp 23955 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 18827 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 24602 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
4722, 4, 37, 31ngpds 23960 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4948oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
5046, 49breqtrrd 5133 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
5140, 50eqbrtrrd 5129 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52 msxms 23807 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 23816 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5624lep1d 12086 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁𝐴) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12094 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11312 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
6159, 60breqtrdi 5146 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13005 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))))
6361, 62mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11512 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
6665abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 23814 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 23972 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 12969 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 12974 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 12957 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11185 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 23972 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 24572 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
8281fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
834, 37grpsubcl 18827 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 24602 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
8722, 4, 37, 31ngpds 23960 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8988oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
9086, 89breqtrrd 5133 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
9182, 90eqbrtrrd 5129 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
924, 31xmsge0 23816 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 23981 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 23961 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9996, 98breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
10033, 74, 59ltled 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11312 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11754 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12095 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11312 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107 ipcn.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5146 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
109 0red 11158 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 23973 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11121, 3, 110syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11270, 73ltaddrpd 12990 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11313 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12028 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15346 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  abscabs 15119  Basecbs 17083  ·𝑖cip 17138  distcds 17142  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  ∞MetSpcxms 23670  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  NrmModcnlm 23936  ℂPreHilccph 24530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-xrs 17384  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-tng 23940  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532  df-tcph 24533
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  24609
  Copyright terms: Public domain W3C validator