Theorem ipcnlem2 25198

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
ipcn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		ipcn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ipcn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipcn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		ipcn.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 5	cphipcl 25145	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8		ipcn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ipcn.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	4, 5	cphipcl 25145	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
12	4, 5	cphipcl 25145	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14		ipcn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 12947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	7, 13	subcld 11490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
17	16	abscld 15360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18		cphnlm 25126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
20		nlmngp 24619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
22		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
23	4, 22	nmcl 24558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
25	4, 22	nmge0 24559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
26	21, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
27	24, 26	ge0p1rpd 12977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	rpred 12947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29		ngpms 24542	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
30	21, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
31		ipcn.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
32	4, 31	mscl 24403	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
33	30, 3, 9, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
34	28, 33	remulcld 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
35	15	rehalfcld 12386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
36	24, 33	remulcld 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
38	5, 4, 37	cphsubdi 25163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
39	1, 2, 3, 9, 38	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
40	39	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41		ngpgrp 24541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
42	21, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
43	4, 37	grpsubcl 18948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
44	42, 3, 9, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 5, 22	ipcau 25192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
46	1, 2, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
47	22, 4, 37, 31	ngpds 24546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
48	21, 3, 9, 47	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
49	48	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
50	46, 49	breqtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
51	40, 50	eqbrtrrd 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52		msxms 24396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
53	30, 52	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
54	4, 31	xmsge0 24405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
55	53, 3, 9, 54	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
56	24	lep1d 12071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘𝐴) + 1))
57	24, 28, 33, 55, 56	lemul1ad 12079	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
58	17, 36, 34, 51, 57	letrd 11288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59		ipcn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60		ipcn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
61	59, 60	breqtrdi 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)))
62	33, 35, 27	ltmuldiv2d 12995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))))
63	61, 62	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
64	17, 34, 35, 58, 63	lelttrd 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
65	13, 11	subcld 11490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
66	65	abscld 15360	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
67	4, 31	mscl 24403	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
68	30, 2, 8, 67	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
69	4, 22	nmcl 24558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
70	21, 3, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
71	14	rphalfcld 12959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
72	71, 27	rpdivcld 12964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
73	60, 72	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
74	73	rpred 12947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	70, 74	readdcld 11159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
76	68, 75	remulcld 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
77	4, 22	nmcl 24558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
78	21, 9, 77	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	68, 78	remulcld 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ∈ ℝ)
80	5, 4, 37	cphsubdir 25162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
81	1, 2, 8, 9, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
82	81	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
83	4, 37	grpsubcl 18948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
84	42, 2, 8, 83	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
85	4, 5, 22	ipcau 25192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
86	1, 84, 9, 85	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
87	22, 4, 37, 31	ngpds 24546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
88	21, 2, 8, 87	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
89	88	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
90	86, 89	breqtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
91	82, 90	eqbrtrrd 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
92	4, 31	xmsge0 24405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
93	53, 2, 8, 92	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
94	78, 70	resubcld 11563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
95	4, 22, 37	nm2dif 24567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
96	21, 9, 3, 95	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
97	22, 4, 37, 31	ngpdsr 24547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
98	21, 3, 9, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
99	96, 98	breqtrrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
100	33, 74, 59	ltled 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
101	94, 33, 74, 99, 100	letrd 11288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇)
102	78, 70, 74	lesubadd2d 11734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
103	101, 102	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
104	78, 75, 68, 93, 103	lemul2ad 12080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
105	66, 79, 76, 91, 104	letrd 11288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
106		ipcn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107		ipcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
108	106, 107	breqtrdi 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
109		0red 11133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
110	4, 22	nmge0 24559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
111	21, 3, 110	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
112	70, 73	ltaddrpd 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
113	109, 70, 75, 111, 112	lelttrd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
114		ltmuldiv 12013	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
115	68, 35, 75, 113, 114	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
116	108, 115	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
117	66, 76, 35, 105, 116	lelttrd 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
118	7, 11, 13, 15, 64, 117	abs3lemd 15385	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  2c2 12198  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155  Basecbs 17134  ·_𝑖cip 17180  distcds 17184  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  ∞MetSpcxms 24259  MetSpcms 24260  normcnm 24518  NrmGrpcngp 24519  NrmModcnlm 24522  ℂPreHilccph 25120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-topgen 17361  df-xrs 17421  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lmhm 20972  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-phl 21579  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-xms 24262  df-ms 24263  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-tng 24526  df-nlm 24528  df-clm 25017  df-cph 25122  df-tcph 25123

This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25199