MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 24631
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcn.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
ipcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
ipcn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
ipcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
ipcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ipcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
ipcn.1 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
ipcn.2 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 ipcn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 ipcn.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
64, 5cphipcl 24578 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
8 ipcn.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
104, 5cphipcl 24578 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
111, 8, 9, 10syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
124, 5cphipcl 24578 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
131, 2, 9, 12syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
14 ipcn.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 12965 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11520 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
1716abscld 15330 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 24559 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24064 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
234, 22nmcl 23995 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 23996 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2621, 2, 25syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2724, 26ge0p1rpd 12995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 12965 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 23979 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
324, 31mscl 23837 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11193 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12408 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11193 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
385, 4, 37cphsubdi 24596 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
4039fveq2d 6850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) = (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))))
41 ngpgrp 23978 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 18835 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 24625 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
4722, 4, 37, 31ngpds 23983 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4948oveq2d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
5046, 49breqtrrd 5137 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5140, 50eqbrtrrd 5133 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
52 msxms 23830 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ MetSp β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 23839 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5624lep1d 12094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ≀ ((π‘β€˜π΄) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12102 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11320 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
6159, 60breqtrdi 5150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13013 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2) ↔ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))))
6361, 62mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11321 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11520 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
6665abscld 15330 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 23837 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 23995 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 12977 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 12982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 12965 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11193 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 23995 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11193 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 24595 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
8281fveq2d 6850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) = (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))))
834, 37grpsubcl 18835 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 24625 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
8722, 4, 37, 31ngpds 23983 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8988oveq1d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9086, 89breqtrrd 5137 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9182, 90eqbrtrrd 5133 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
924, 31xmsge0 23839 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11591 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 24004 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 23984 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9996, 98breqtrrd 5137 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π΅π·π‘Œ))
10033, 74, 59ltled 11311 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ≀ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11320 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11762 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇 ↔ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12103 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11320 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
107 ipcn.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5150 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
109 0red 11166 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 23996 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11121, 3, 110syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11270, 73ltaddrpd 12998 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11321 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12036 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))) β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1375 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11321 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15355 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  abscabs 15128  Basecbs 17091  Β·π‘–cip 17146  distcds 17150  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  βˆžMetSpcxms 23693  MetSpcms 23694  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmModcnlm 23959  β„‚PreHilccph 24553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-xrs 17392  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-tng 23963  df-nlm 23965  df-clm 24449  df-cph 24555  df-tcph 24556
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  24632
  Copyright terms: Public domain W3C validator