Theorem ipcnlem2 25278

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
ipcn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		ipcn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ipcn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipcn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		ipcn.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 5	cphipcl 25225	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8		ipcn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ipcn.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	4, 5	cphipcl 25225	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
12	4, 5	cphipcl 25225	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14		ipcn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	7, 13	subcld 11620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
17	16	abscld 15475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18		cphnlm 25206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
20		nlmngp 24698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
22		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
23	4, 22	nmcl 24629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
25	4, 22	nmge0 24630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
26	21, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
27	24, 26	ge0p1rpd 13107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29		ngpms 24613	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
30	21, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
31		ipcn.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
32	4, 31	mscl 24471	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
33	30, 3, 9, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
34	28, 33	remulcld 11291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
35	15	rehalfcld 12513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
36	24, 33	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
38	5, 4, 37	cphsubdi 25243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
39	1, 2, 3, 9, 38	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
40	39	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41		ngpgrp 24612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
42	21, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
43	4, 37	grpsubcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
44	42, 3, 9, 43	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 5, 22	ipcau 25272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
46	1, 2, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
47	22, 4, 37, 31	ngpds 24617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
48	21, 3, 9, 47	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
49	48	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
50	46, 49	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
51	40, 50	eqbrtrrd 5167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52		msxms 24464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
53	30, 52	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
54	4, 31	xmsge0 24473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
55	53, 3, 9, 54	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
56	24	lep1d 12199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘𝐴) + 1))
57	24, 28, 33, 55, 56	lemul1ad 12207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
58	17, 36, 34, 51, 57	letrd 11418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59		ipcn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60		ipcn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
61	59, 60	breqtrdi 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)))
62	33, 35, 27	ltmuldiv2d 13125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))))
63	61, 62	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
64	17, 34, 35, 58, 63	lelttrd 11419	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
65	13, 11	subcld 11620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
66	65	abscld 15475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
67	4, 31	mscl 24471	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
68	30, 2, 8, 67	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
69	4, 22	nmcl 24629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
70	21, 3, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
71	14	rphalfcld 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
72	71, 27	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
73	60, 72	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
74	73	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	70, 74	readdcld 11290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
76	68, 75	remulcld 11291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
77	4, 22	nmcl 24629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
78	21, 9, 77	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	68, 78	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ∈ ℝ)
80	5, 4, 37	cphsubdir 25242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
81	1, 2, 8, 9, 80	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
82	81	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
83	4, 37	grpsubcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
84	42, 2, 8, 83	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
85	4, 5, 22	ipcau 25272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
86	1, 84, 9, 85	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
87	22, 4, 37, 31	ngpds 24617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
88	21, 2, 8, 87	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
89	88	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
90	86, 89	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
91	82, 90	eqbrtrrd 5167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
92	4, 31	xmsge0 24473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
93	53, 2, 8, 92	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
94	78, 70	resubcld 11691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
95	4, 22, 37	nm2dif 24638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
96	21, 9, 3, 95	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
97	22, 4, 37, 31	ngpdsr 24618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
98	21, 3, 9, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
99	96, 98	breqtrrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
100	33, 74, 59	ltled 11409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
101	94, 33, 74, 99, 100	letrd 11418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇)
102	78, 70, 74	lesubadd2d 11862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
103	101, 102	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
104	78, 75, 68, 93, 103	lemul2ad 12208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
105	66, 79, 76, 91, 104	letrd 11418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
106		ipcn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107		ipcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
108	106, 107	breqtrdi 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
109		0red 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
110	4, 22	nmge0 24630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
111	21, 3, 110	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
112	70, 73	ltaddrpd 13110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
113	109, 70, 75, 111, 112	lelttrd 11419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
114		ltmuldiv 12141	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
115	68, 35, 75, 113, 114	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
116	108, 115	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
117	66, 76, 35, 105, 116	lelttrd 11419	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
118	7, 11, 13, 15, 64, 117	abs3lemd 15500	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273  Basecbs 17247  ·_𝑖cip 17302  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  ∞MetSpcxms 24327  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593  ℂPreHilccph 25200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203

This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25279