MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 25192
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcn.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
ipcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
ipcn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
ipcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
ipcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ipcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
ipcn.1 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
ipcn.2 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 ipcn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 ipcn.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
64, 5cphipcl 25139 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
8 ipcn.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
104, 5cphipcl 25139 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
111, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
124, 5cphipcl 25139 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
131, 2, 9, 12syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , π‘Œ) ∈ β„‚)
14 ipcn.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 13056 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11609 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
1716abscld 15423 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 25120 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24614 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
234, 22nmcl 24545 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 24546 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2621, 2, 25syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
2724, 26ge0p1rpd 13086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 13056 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 24529 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
324, 31mscl 24387 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11282 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12497 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11282 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
37 eqid 2728 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
385, 4, 37cphsubdi 25157 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ)))
4039fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) = (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))))
41 ngpgrp 24528 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 18983 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 25186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
4722, 4, 37, 31ngpds 24533 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ)))
4948oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))))
5046, 49breqtrrd 5180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , (𝐡(-gβ€˜π‘Š)π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5140, 50eqbrtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)))
52 msxms 24380 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ MetSp β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 24389 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΅π·π‘Œ))
5624lep1d 12183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ≀ ((π‘β€˜π΄) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12191 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π΅π·π‘Œ)) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11409 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) ≀ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
6159, 60breqtrdi 5193 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13104 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2) ↔ (π΅π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))))
6361, 62mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄) + 1) Β· (π΅π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11410 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐴 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11609 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)) ∈ β„‚)
6665abscld 15423 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 24387 . . . . 5 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 24545 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 13068 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 13073 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 13056 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11281 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11282 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 24545 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11282 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 25156 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ) = ((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ)))
8281fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) = (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))))
834, 37grpsubcl 18983 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 25186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
8722, 4, 37, 31ngpds 24533 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8988oveq1d 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋)) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9086, 89breqtrrd 5180 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴(-gβ€˜π‘Š)𝑋) , π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
9182, 90eqbrtrrd 5176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
924, 31xmsge0 24389 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 24554 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 24534 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝐡)))
9996, 98breqtrrd 5180 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π΅π·π‘Œ))
10033, 74, 59ltled 11400 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅π·π‘Œ) ≀ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11409 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11851 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ 𝑇 ↔ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12192 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11409 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) ≀ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < π‘ˆ)
107 ipcn.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5193 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)))
109 0red 11255 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 24546 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11121, 3, 110syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
11270, 73ltaddrpd 13089 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11410 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12125 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))) β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝑋) Β· ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11410 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , π‘Œ) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15448 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝑋 , π‘Œ))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  β„+crp 13014  abscabs 15221  Basecbs 17187  Β·π‘–cip 17245  distcds 17249  Grpcgrp 18897  -gcsg 18899  βˆžMetSpcxms 24243  MetSpcms 24244  normcnm 24505  NrmGrpcngp 24506  NrmModcnlm 24509  β„‚PreHilccph 25114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-xrs 17491  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lmhm 20914  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-phl 21565  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-xms 24246  df-ms 24247  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-tng 24513  df-nlm 24515  df-clm 25010  df-cph 25116  df-tcph 25117
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25193
  Copyright terms: Public domain W3C validator