Theorem ipcnlem2 25620

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
ipcn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		ipcn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ipcn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipcn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		ipcn.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 5	cphipcl 25567	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8		ipcn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ipcn.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	4, 5	cphipcl 25567	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
12	4, 5	cphipcl 25567	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14		ipcn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13204	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	7, 13	subcld 11708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
17	16	abscld 15650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18		cphnlm 25548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
20		nlmngp 25051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
22		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
23	4, 22	nmcl 24990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
24	21, 2, 23	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
25	4, 22	nmge0 24991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
26	21, 2, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
27	24, 26	ge0p1rpd 13234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29		ngpms 24974	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
30	21, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
31		ipcn.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
32	4, 31	mscl 24835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
33	30, 3, 9, 32	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
34	28, 33	remulcld 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
35	15	rehalfcld 12633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
36	24, 33	remulcld 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
38	5, 4, 37	cphsubdi 25585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
39	1, 2, 3, 9, 38	syl13anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
40	39	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41		ngpgrp 24973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
42	21, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
43	4, 37	grpsubcl 19280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
44	42, 3, 9, 43	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 5, 22	ipcau 25614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
46	1, 2, 44, 45	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
47	22, 4, 37, 31	ngpds 24978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
48	21, 3, 9, 47	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
49	48	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
50	46, 49	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
51	40, 50	eqbrtrrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52		msxms 24828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
53	30, 52	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
54	4, 31	xmsge0 24837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
55	53, 3, 9, 54	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
56	24	lep1d 12288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘𝐴) + 1))
57	24, 28, 33, 55, 56	lemul1ad 12296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
58	17, 36, 34, 51, 57	letrd 11506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59		ipcn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60		ipcn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
61	59, 60	breqtrdi 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)))
62	33, 35, 27	ltmuldiv2d 13252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))))
63	61, 62	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
64	17, 34, 35, 58, 63	lelttrd 11507	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
65	13, 11	subcld 11708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
66	65	abscld 15650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
67	4, 31	mscl 24835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
68	30, 2, 8, 67	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
69	4, 22	nmcl 24990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
70	21, 3, 69	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
71	14	rphalfcld 13216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
72	71, 27	rpdivcld 13221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
73	60, 72	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
74	73	rpred 13204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	70, 74	readdcld 11377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
76	68, 75	remulcld 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
77	4, 22	nmcl 24990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
78	21, 9, 77	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	68, 78	remulcld 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ∈ ℝ)
80	5, 4, 37	cphsubdir 25584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
81	1, 2, 8, 9, 80	syl13anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
82	81	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
83	4, 37	grpsubcl 19280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
84	42, 2, 8, 83	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
85	4, 5, 22	ipcau 25614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
86	1, 84, 9, 85	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
87	22, 4, 37, 31	ngpds 24978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
88	21, 2, 8, 87	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
89	88	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
90	86, 89	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
91	82, 90	eqbrtrrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
92	4, 31	xmsge0 24837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
93	53, 2, 8, 92	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
94	78, 70	resubcld 11783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
95	4, 22, 37	nm2dif 24999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
96	21, 9, 3, 95	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
97	22, 4, 37, 31	ngpdsr 24979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
98	21, 3, 9, 97	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
99	96, 98	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
100	33, 74, 59	ltled 11497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
101	94, 33, 74, 99, 100	letrd 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇)
102	78, 70, 74	lesubadd2d 11955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
103	101, 102	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
104	78, 75, 68, 93, 103	lemul2ad 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
105	66, 79, 76, 91, 104	letrd 11506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
106		ipcn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107		ipcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
108	106, 107	breqtrdi 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
109		0red 11350	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
110	4, 22	nmge0 24991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
111	21, 3, 110	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
112	70, 73	ltaddrpd 13237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
113	109, 70, 75, 111, 112	lelttrd 11507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
114		ltmuldiv 12230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
115	68, 35, 75, 113, 114	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
116	108, 115	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
117	66, 76, 35, 105, 116	lelttrd 11507	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
118	7, 11, 13, 15, 64, 117	abs3lemd 15675	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444  Basecbs 17431  ·_𝑖cip 17477  distcds 17481  Grpcgrp 19194  -_gcsg 19196  ∞MetSpcxms 24691  MetSpcms 24692  normcnm 24950  NrmGrpcngp 24951  NrmModcnlm 24954  ℂPreHilccph 25542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-xrs 17724  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lmhm 21348  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-phl 21987  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-tng 24958  df-nlm 24960  df-clm 25439  df-cph 25544  df-tcph 25545

This theorem is used by:  ipcnlem1  25621