Theorem ipcnlem2 25403

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
ipcn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		ipcn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ipcn.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ipcn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		ipcn.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 5	cphipcl 25350	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8		ipcn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		ipcn.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	4, 5	cphipcl 25350	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
12	4, 5	cphipcl 25350	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14		ipcn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13055	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
16	7, 13	subcld 11564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
17	16	abscld 15486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18		cphnlm 25331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
20		nlmngp 24834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
22		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
23	4, 22	nmcl 24773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
24	21, 2, 23	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
25	4, 22	nmge0 24774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
26	21, 2, 25	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
27	24, 26	ge0p1rpd 13085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	rpred 13055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29		ngpms 24757	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
30	21, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
31		ipcn.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
32	4, 31	mscl 24618	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
33	30, 3, 9, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
34	28, 33	remulcld 11234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
35	15	rehalfcld 12486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
36	24, 33	remulcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
38	5, 4, 37	cphsubdi 25368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
39	1, 2, 3, 9, 38	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
40	39	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41		ngpgrp 24756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
42	21, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
43	4, 37	grpsubcl 19081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
44	42, 3, 9, 43	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 5, 22	ipcau 25397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
46	1, 2, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
47	22, 4, 37, 31	ngpds 24761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
48	21, 3, 9, 47	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌)))
49	48	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝑌))))
50	46, 49	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g‘𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
51	40, 50	eqbrtrrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52		msxms 24611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
53	30, 52	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
54	4, 31	xmsge0 24620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
55	53, 3, 9, 54	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
56	24	lep1d 12141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘𝐴) + 1))
57	24, 28, 33, 55, 56	lemul1ad 12149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
58	17, 36, 34, 51, 57	letrd 11362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59		ipcn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60		ipcn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
61	59, 60	breqtrdi 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)))
62	33, 35, 27	ltmuldiv2d 13103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))))
63	61, 62	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
64	17, 34, 35, 58, 63	lelttrd 11363	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
65	13, 11	subcld 11564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
66	65	abscld 15486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
67	4, 31	mscl 24618	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
68	30, 2, 8, 67	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
69	4, 22	nmcl 24773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
70	21, 3, 69	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
71	14	rphalfcld 13067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
72	71, 27	rpdivcld 13072	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
73	60, 72	eqeltrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
74	73	rpred 13055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
75	70, 74	readdcld 11233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
76	68, 75	remulcld 11234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
77	4, 22	nmcl 24773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
78	21, 9, 77	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	68, 78	remulcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ∈ ℝ)
80	5, 4, 37	cphsubdir 25367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
81	1, 2, 8, 9, 80	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
82	81	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
83	4, 37	grpsubcl 19081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
84	42, 2, 8, 83	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
85	4, 5, 22	ipcau 25397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
86	1, 84, 9, 85	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
87	22, 4, 37, 31	ngpds 24761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
88	21, 2, 8, 87	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)))
89	88	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝑋)) · (𝑁‘𝑌)))
90	86, 89	breqtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g‘𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
91	82, 90	eqbrtrrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)))
92	4, 31	xmsge0 24620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
93	53, 2, 8, 92	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
94	78, 70	resubcld 11637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
95	4, 22, 37	nm2dif 24782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
96	21, 9, 3, 95	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
97	22, 4, 37, 31	ngpdsr 24762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
98	21, 3, 9, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝐵)))
99	96, 98	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
100	33, 74, 59	ltled 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
101	94, 33, 74, 99, 100	letrd 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇)
102	78, 70, 74	lesubadd2d 11808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
103	101, 102	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
104	78, 75, 68, 93, 103	lemul2ad 12150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
105	66, 79, 76, 91, 104	letrd 11362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
106		ipcn.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107		ipcn.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
108	106, 107	breqtrdi 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)))
109		0red 11206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
110	4, 22	nmge0 24774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
111	21, 3, 110	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
112	70, 73	ltaddrpd 13088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
113	109, 70, 75, 111, 112	lelttrd 11363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
114		ltmuldiv 12083	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
115	68, 35, 75, 113, 114	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))))
116	108, 115	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
117	66, 76, 35, 105, 116	lelttrd 11363	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
118	7, 11, 13, 15, 64, 117	abs3lemd 15511	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  2c2 12290  ℝ⁺crp 13011  abscabs 15281  Basecbs 17264  ·_𝑖cip 17310  distcds 17314  Grpcgrp 18995  -_gcsg 18997  ∞MetSpcxms 24474  MetSpcms 24475  normcnm 24733  NrmGrpcngp 24734  NrmModcnlm 24737  ℂPreHilccph 25325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13373  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-topgen 17491  df-xrs 17551  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-phl 21776  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-xms 24477  df-ms 24478  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-tng 24741  df-nlm 24743  df-clm 25222  df-cph 25327  df-tcph 25328

This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25404