MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 25278
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (𝜑𝑋𝑉)
ipcn.y (𝜑𝑌𝑉)
ipcn.1 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 ipcn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 ipcn.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
64, 5cphipcl 25225 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
71, 2, 3, 6syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8 ipcn.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
104, 5cphipcl 25225 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
111, 8, 9, 10syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
124, 5cphipcl 25225 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝑌𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
131, 2, 9, 12syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14 ipcn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 13077 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
1716abscld 15475 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 25206 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24698 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
234, 22nmcl 24629 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 24630 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2621, 2, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2724, 26ge0p1rpd 13107 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 13077 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 24613 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑊)
324, 31mscl 24471 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12513 . . 3 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37 eqid 2737 . . . . . . . 8 (-g𝑊) = (-g𝑊)
385, 4, 37cphsubdi 25243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
4039fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41 ngpgrp 24612 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 19038 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 25272 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
4722, 4, 37, 31ngpds 24617 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4948oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
5046, 49breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
5140, 50eqbrtrrd 5167 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52 msxms 24464 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 24473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5624lep1d 12199 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁𝐴) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 12207 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 11418 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
6159, 60breqtrdi 5184 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 13125 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))))
6361, 62mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 11419 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
6665abscld 15475 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 24471 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 24629 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 13089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 13094 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 13077 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 11291 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 24629 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 25242 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
8281fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
834, 37grpsubcl 19038 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 25272 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
8722, 4, 37, 31ngpds 24617 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8988oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
9086, 89breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
9182, 90eqbrtrrd 5167 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
924, 31xmsge0 24473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 24638 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 24618 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9996, 98breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
10033, 74, 59ltled 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 11418 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 11862 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 12208 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 11418 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107 ipcn.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
108106, 107breqtrdi 5184 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
109 0red 11264 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 24630 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11121, 3, 110syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11270, 73ltaddrpd 13110 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 11419 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
114 ltmuldiv 12141 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1376 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 11419 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 15500 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  abscabs 15273  Basecbs 17247  ·𝑖cip 17302  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  ∞MetSpcxms 24327  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593  ℂPreHilccph 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  25279
  Copyright terms: Public domain W3C validator