Theorem cphngp 25162

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25161	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24664	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  NrmGrpcngp 24564  NrmModcnlm 24567  ℂPreHilccph 25155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-nul 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-xp 5627  df-cnv 5629  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7363  df-nlm 24573  df-cph 25157

This theorem is referenced by:  cphnmf  25184  reipcl  25186  ipge0  25187  cphpyth  25205  cphipval2  25230  4cphipval2  25231  cphipval  25232  ipcn  25235  cnmpt1ip  25236  cnmpt2ip  25237  clsocv  25239  minveclem1  25413  minveclem2  25415  minveclem3b  25417  minveclem3  25418  minveclem4a  25419  minveclem4  25421  minveclem6  25423  minveclem7  25424  pjthlem1  25426  rrxngp  46742