Theorem cphngp 25106

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25105	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24598	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  NrmGrpcngp 24498  NrmModcnlm 24501  ℂPreHilccph 25099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-nlm 24507  df-cph 25101

This theorem is referenced by:  cphnmf  25128  reipcl  25130  ipge0  25131  cphpyth  25149  cphipval2  25174  4cphipval2  25175  cphipval  25176  ipcn  25179  cnmpt1ip  25180  cnmpt2ip  25181  clsocv  25183  minveclem1  25357  minveclem2  25359  minveclem3b  25361  minveclem3  25362  minveclem4a  25363  minveclem4  25365  minveclem6  25367  minveclem7  25368  pjthlem1  25370  rrxngp  46276