Theorem cphngp 25494

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25493	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24996	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  NrmGrpcngp 24896  NrmModcnlm 24899  ℂPreHilccph 25487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-nlm 24905  df-cph 25489

This theorem is used by:  cphnmf  25516  reipcl  25518  ipge0  25519  cphpyth  25537  cphipval2  25562  4cphipval2  25563  cphipval  25564  ipcn  25567  cnmpt1ip  25568  cnmpt2ip  25569  clsocv  25571  minveclem1  25745  minveclem2  25747  minveclem3b  25749  minveclem3  25750  minveclem4a  25751  minveclem4  25753  minveclem6  25755  minveclem7  25756  pjthlem1  25758  rrxngp  47295