Theorem cphngp 25237

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25236	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  NrmGrpcngp 24639  NrmModcnlm 24642  ℂPreHilccph 25230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-nul 5258

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-xp 5655  df-cnv 5657  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fv 6531  df-ov 7401  df-nlm 24648  df-cph 25232

This theorem is referenced by:  cphnmf  25259  reipcl  25261  ipge0  25262  cphpyth  25280  cphipval2  25305  4cphipval2  25306  cphipval  25307  ipcn  25310  cnmpt1ip  25311  cnmpt2ip  25312  clsocv  25314  minveclem1  25488  minveclem2  25490  minveclem3b  25492  minveclem3  25493  minveclem4a  25494  minveclem4  25496  minveclem6  25498  minveclem7  25499  pjthlem1  25501  rrxngp  46864