Theorem cphngp 25154

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25153	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24656	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  NrmGrpcngp 24556  NrmModcnlm 24559  ℂPreHilccph 25147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5632  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fv 6502  df-ov 7365  df-nlm 24565  df-cph 25149

This theorem is referenced by:  cphnmf  25176  reipcl  25178  ipge0  25179  cphpyth  25197  cphipval2  25222  4cphipval2  25223  cphipval  25224  ipcn  25227  cnmpt1ip  25228  cnmpt2ip  25229  clsocv  25231  minveclem1  25405  minveclem2  25407  minveclem3b  25409  minveclem3  25410  minveclem4a  25411  minveclem4  25413  minveclem6  25415  minveclem7  25416  pjthlem1  25418  rrxngp  46735