Theorem cphngp 25521

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25520	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 25023	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  NrmGrpcngp 24923  NrmModcnlm 24926  ℂPreHilccph 25514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fv 6563  df-ov 7443  df-nlm 24932  df-cph 25516

This theorem is used by:  cphnmf  25543  reipcl  25545  ipge0  25546  cphpyth  25564  cphipval2  25589  4cphipval2  25590  cphipval  25591  ipcn  25594  cnmpt1ip  25595  cnmpt2ip  25596  clsocv  25598  minveclem1  25772  minveclem2  25774  minveclem3b  25776  minveclem3  25777  minveclem4a  25778  minveclem4  25780  minveclem6  25782  minveclem7  25783  pjthlem1  25785  rrxngp  47498