Theorem cphngp 25400

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25399	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24902	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  NrmGrpcngp 24802  NrmModcnlm 24805  ℂPreHilccph 25393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7419  df-nlm 24811  df-cph 25395

This theorem is used by:  cphnmf  25422  reipcl  25424  ipge0  25425  cphpyth  25443  cphipval2  25468  4cphipval2  25469  cphipval  25470  ipcn  25473  cnmpt1ip  25474  cnmpt2ip  25475  clsocv  25477  minveclem1  25651  minveclem2  25653  minveclem3b  25655  minveclem3  25656  minveclem4a  25657  minveclem4  25659  minveclem6  25661  minveclem7  25662  pjthlem1  25664  rrxngp  47098