Theorem cphngp 25341

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25340	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24843	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  NrmGrpcngp 24743  NrmModcnlm 24746  ℂPreHilccph 25334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-nlm 24752  df-cph 25336

This theorem is used by:  cphnmf  25363  reipcl  25365  ipge0  25366  cphpyth  25384  cphipval2  25409  4cphipval2  25410  cphipval  25411  ipcn  25414  cnmpt1ip  25415  cnmpt2ip  25416  clsocv  25418  minveclem1  25592  minveclem2  25594  minveclem3b  25596  minveclem3  25597  minveclem4a  25598  minveclem4  25600  minveclem6  25602  minveclem7  25603  pjthlem1  25605  rrxngp  47027