MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem1 25279
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
2 ipcn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13089 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 ipcn.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphnlm 25206 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
7 nlmngp 24698 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
9 ipcn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
10 ipcn.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
1210, 11nmcl 24629 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 11nmge0 24630 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
158, 9, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1613, 15ge0p1rpd 13107 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
173, 16rpdivcld 13094 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
181, 17eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
19 ipcn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
20 ipcn.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
2110, 11nmcl 24629 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
228, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
2318rpred 13077 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25 0red 11264 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2610, 11nmge0 24630 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
278, 20, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
2822, 18ltaddrpd 13110 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 11419 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
3024, 29elrpd 13074 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
313, 30rpdivcld 13094 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3219, 31eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3318, 32ifcld 4572 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34 ipcn.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
35 ipcn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
364adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
379adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴𝑉)
3820adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝑉)
392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40 simprll 779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝑉)
41 simprlr 780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
428adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43 ngpms 24613 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
4510, 35mscl 24471 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4644, 37, 40, 45syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4733adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
4847rpred 13077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
4932rpred 13077 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51 simprrl 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5223adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53 min2 13232 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5452, 50, 53syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 11421 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
568, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
5810, 35mscl 24471 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑦𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
5957, 38, 41, 58syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60 simprrr 782 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
61 min1 13231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6252, 50, 61syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 11421 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 25278 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
6564expr 456 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
6665ralrimivva 3202 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
6967, 68anbi12d 632 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7069imbi1d 341 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71702ralbidv 3221 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
7271rspcev 3622 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
7333, 66, 72syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  abscabs 15273  Basecbs 17247  ·𝑖cip 17302  distcds 17306  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593  ℂPreHilccph 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203
This theorem is referenced by:  ipcn  25280
  Copyright terms: Public domain W3C validator