MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem1 25160
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
2 ipcn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13052 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 ipcn.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphnlm 25087 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
7 nlmngp 24581 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
9 ipcn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
10 ipcn.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
1210, 11nmcl 24512 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
138, 9, 12syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 11nmge0 24513 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
158, 9, 14syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1613, 15ge0p1rpd 13070 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
173, 16rpdivcld 13057 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
181, 17eqeltrid 2832 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
19 ipcn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
20 ipcn.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
2110, 11nmcl 24512 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
228, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
2318rpred 13040 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11265 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25 0red 11239 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2610, 11nmge0 24513 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
278, 20, 26syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
2822, 18ltaddrpd 13073 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 11394 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
3024, 29elrpd 13037 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
313, 30rpdivcld 13057 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3219, 31eqeltrid 2832 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3318, 32ifcld 4570 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34 ipcn.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
35 ipcn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
364adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
379adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴𝑉)
3820adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝑉)
392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40 simprll 778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝑉)
41 simprlr 779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
428adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43 ngpms 24496 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
4510, 35mscl 24354 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4644, 37, 40, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4733adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
4847rpred 13040 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
4932rpred 13040 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51 simprrl 780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5223adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53 min2 13193 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5452, 50, 53syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 11396 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
568, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
5810, 35mscl 24354 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑦𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
5957, 38, 41, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60 simprrr 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
61 min1 13192 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6252, 50, 61syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 11396 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 25159 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
6564expr 456 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
6665ralrimivva 3195 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
6967, 68anbi12d 630 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7069imbi1d 341 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71702ralbidv 3213 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
7271rspcev 3607 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
7333, 66, 72syl2anc 583 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  +crp 12998  abscabs 15205  Basecbs 17171  ·𝑖cip 17229  distcds 17233  MetSpcms 24211  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmModcnlm 24476  ℂPreHilccph 25081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-xrs 17475  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lmhm 20896  df-lvec 20977  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-phl 21545  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-tng 24480  df-nlm 24482  df-clm 24977  df-cph 25083  df-tcph 25084
This theorem is referenced by:  ipcn  25161
  Copyright terms: Public domain W3C validator