Theorem ipcnlem1 25476

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   , (𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
2		ipcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphnlm 25403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
7		nlmngp 24906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
9		ipcn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	10, 11	nmcl 24845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 11	nmge0 24846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
15	8, 9, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
16	13, 15	ge0p1rpd 13119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
17	3, 16	rpdivcld 13106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
18	1, 17	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
19		ipcn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	10, 11	nmcl 24845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	8, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
23	18	rpred 13089	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25		0red 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26	10, 11	nmge0 24846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
27	8, 20, 26	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
28	22, 18	ltaddrpd 13122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 11395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
30	24, 29	elrpd 13086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
31	3, 30	rpdivcld 13106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
32	19, 31	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
33	18, 32	ifcld 4529	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34		ipcn.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
35		ipcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
36	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
37	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40		simprll 791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
41		simprlr 792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43		ngpms 24829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
45	10, 35	mscl 24690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
47	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 13089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
49	32	rpred 13089	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
52	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53		min2 13245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
54	52, 50, 53	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 11397	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
56	8, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
57	56	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
58	10, 35	mscl 24690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
61		min1 13244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
62	52, 50, 61	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 11397	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 25475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
65	64	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
66	65	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
69	67, 68	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
70	69	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71	70	2ralbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
72	71	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
73	33, 66, 72	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  2c2 12322  ℝ⁺crp 13045  abscabs 15324  Basecbs 17304  ·_𝑖cip 17350  distcds 17354  MetSpcms 24547  normcnm 24805  NrmGrpcngp 24806  NrmModcnlm 24809  ℂPreHilccph 25397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ico 13407  df-fz 13565  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-topgen 17531  df-xrs 17591  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-staf 21008  df-srng 21009  df-lmod 21049  df-lmhm 21209  df-lvec 21290  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-phl 21842  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-xms 24549  df-ms 24550  df-nm 24811  df-ngp 24812  df-tng 24813  df-nlm 24815  df-clm 25294  df-cph 25399  df-tcph 25400

This theorem is used by:  ipcn  25477