Theorem ipcnlem1 25152

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
2		ipcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphnlm 25079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
7		nlmngp 24572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
9		ipcn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	10, 11	nmcl 24511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 11	nmge0 24512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
15	8, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
16	13, 15	ge0p1rpd 13032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
17	3, 16	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
18	1, 17	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
19		ipcn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	10, 11	nmcl 24511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
23	18	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26	10, 11	nmge0 24512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
27	8, 20, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
28	22, 18	ltaddrpd 13035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
30	24, 29	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
31	3, 30	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
32	19, 31	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
33	18, 32	ifcld 4538	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34		ipcn.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
35		ipcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
36	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
37	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
41		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43		ngpms 24495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
45	10, 35	mscl 24356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
47	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 13002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
49	32	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
52	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53		min2 13157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
54	52, 50, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
56	8, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
58	10, 35	mscl 24356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
61		min1 13156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
62	52, 50, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 25151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
65	64	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
66	65	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
70	69	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71	70	2ralbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
72	71	rspcev 3591	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
73	33, 66, 72	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207  Basecbs 17186  ·_𝑖cip 17232  distcds 17236  MetSpcms 24213  normcnm 24471  NrmGrpcngp 24472  NrmModcnlm 24475  ℂPreHilccph 25073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-xrs 17472  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-staf 20755  df-srng 20756  df-lmod 20775  df-lmhm 20936  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-phl 21542  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-tng 24479  df-nlm 24481  df-clm 24970  df-cph 25075  df-tcph 25076

This theorem is referenced by:  ipcn  25153