MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem1 24762
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcn.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
ipcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
ipcn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
ipcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
ipcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ipcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   𝐷,π‘Ÿ   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   , ,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
2 ipcn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13028 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 ipcn.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 cphnlm 24689 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
7 nlmngp 24194 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
9 ipcn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 ipcn.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
1210, 11nmcl 24125 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
138, 9, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1410, 11nmge0 24126 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
158, 9, 14syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
1613, 15ge0p1rpd 13046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ+)
173, 16rpdivcld 13033 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ+)
181, 17eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
19 ipcn.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
20 ipcn.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2110, 11nmcl 24125 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
228, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
2318rpred 13016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ)
25 0red 11217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2610, 11nmge0 24126 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
278, 20, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
2822, 18ltaddrpd 13049 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 11372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
3024, 29elrpd 13013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ+)
313, 30rpdivcld 13033 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3219, 31eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
3318, 32ifcld 4575 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
34 ipcn.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
35 ipcn.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
364adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
379adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3820adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
392adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
40 simprll 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
41 simprlr 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
428adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
43 ngpms 24109 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
4510, 35mscl 23967 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
4644, 37, 40, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
4733adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
4847rpred 13016 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ)
4932rpred 13016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5049adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
51 simprrl 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
5223adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
53 min2 13169 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5452, 50, 53syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 11374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) < π‘ˆ)
568, 43syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
5810, 35mscl 23967 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡𝐷𝑦) ∈ ℝ)
5957, 38, 41, 58syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60 simprrr 781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
61 min1 13168 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6252, 50, 61syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 11374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) < 𝑇)
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 24761 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)
6564expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
6665ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
67 breq2 5153 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ↔ (𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
68 breq2 5153 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ ↔ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
6967, 68anbi12d 632 . . . . 5 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))))
7069imbi1d 342 . . . 4 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)))
71702ralbidv 3219 . . 3 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)))
7271rspcev 3613 . 2 ((if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
7333, 66, 72syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  abscabs 15181  Basecbs 17144  Β·π‘–cip 17202  distcds 17206  MetSpcms 23824  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089  β„‚PreHilccph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-xrs 17448  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-phl 21179  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-tng 24093  df-nlm 24095  df-clm 24579  df-cph 24685  df-tcph 24686
This theorem is referenced by:  ipcn  24763
  Copyright terms: Public domain W3C validator