Theorem ipcnlem1 25199

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
2		ipcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphnlm 25126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
7		nlmngp 24619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
9		ipcn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	10, 11	nmcl 24558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 11	nmge0 24559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
15	8, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
16	13, 15	ge0p1rpd 12977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
17	3, 16	rpdivcld 12964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
18	1, 17	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
19		ipcn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	10, 11	nmcl 24558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
23	18	rpred 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25		0red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26	10, 11	nmge0 24559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
27	8, 20, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
28	22, 18	ltaddrpd 12980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
30	24, 29	elrpd 12944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
31	3, 30	rpdivcld 12964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
32	19, 31	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
33	18, 32	ifcld 4524	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34		ipcn.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
35		ipcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
36	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
37	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
41		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43		ngpms 24542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
45	10, 35	mscl 24403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
47	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
49	32	rpred 12947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
52	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53		min2 13103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
54	52, 50, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
56	8, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
58	10, 35	mscl 24403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
61		min1 13102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
62	52, 50, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 25198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
65	64	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
66	65	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67		breq2 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68		breq2 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
70	69	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71	70	2ralbidv 3198	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
72	71	rspcev 3574	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
73	33, 66, 72	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ifcif 4477   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  2c2 12198  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155  Basecbs 17134  ·_𝑖cip 17180  distcds 17184  MetSpcms 24260  normcnm 24518  NrmGrpcngp 24519  NrmModcnlm 24522  ℂPreHilccph 25120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-topgen 17361  df-xrs 17421  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lmhm 20972  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-phl 21579  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-xms 24262  df-ms 24263  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-tng 24526  df-nlm 24528  df-clm 25017  df-cph 25122  df-tcph 25123

This theorem is referenced by:  ipcn  25200