MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem1 23519
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
2 ipcn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 ipcn.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 cphnlm 23447 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
7 nlmngp 22957 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
9 ipcn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
10 ipcn.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
1210, 11nmcl 22896 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 11nmge0 22897 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
158, 9, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1613, 15ge0p1rpd 12300 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
173, 16rpdivcld 12287 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
181, 17syl5eqel 2885 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
19 ipcn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
20 ipcn.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑉)
2110, 11nmcl 22896 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
228, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
2318rpred 12270 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10505 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25 0red 10479 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2610, 11nmge0 22897 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
278, 20, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
2822, 18ltaddrpd 12303 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 10634 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
3024, 29elrpd 12267 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
313, 30rpdivcld 12287 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3219, 31syl5eqel 2885 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3318, 32ifcld 4420 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34 ipcn.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
35 ipcn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
364adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
379adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴𝑉)
3820adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝑉)
392adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40 simprll 775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝑉)
41 simprlr 776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
428adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43 ngpms 22880 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
4510, 35mscl 22742 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4644, 37, 40, 45syl3anc 1362 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
4733adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
4847rpred 12270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
4932rpred 12270 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51 simprrl 777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5223adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53 min2 12422 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5452, 50, 53syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 10636 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
568, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
5810, 35mscl 22742 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑦𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
5957, 38, 41, 58syl3anc 1362 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60 simprrr 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
61 min1 12421 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6252, 50, 61syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 10636 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 23518 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
6564expr 457 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
6665ralrimivva 3156 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67 breq2 4960 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68 breq2 4960 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
6967, 68anbi12d 630 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7069imbi1d 343 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71702ralbidv 3164 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
7271rspcev 3554 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
7333, 66, 72syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑉𝑦𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  wrex 3104  ifcif 4375   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  cmin 10706   / cdiv 11134  2c2 11529  +crp 12228  abscabs 14415  Basecbs 16300  ·𝑖cip 16387  distcds 16391  MetSpcms 22599  normcnm 22857  NrmGrpcngp 22858  NrmModcnlm 22861  ℂPreHilccph 23441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ico 12583  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-0g 16532  df-topgen 16534  df-xrs 16592  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-mhm 17762  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-subg 18018  df-ghm 18085  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-cring 18978  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-dvr 19111  df-rnghom 19145  df-drng 19182  df-subrg 19211  df-staf 19294  df-srng 19295  df-lmod 19314  df-lmhm 19472  df-lvec 19553  df-sra 19622  df-rgmod 19623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-cnfld 20216  df-phl 20440  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-xms 22601  df-ms 22602  df-nm 22863  df-ngp 22864  df-tng 22865  df-nlm 22867  df-clm 23338  df-cph 23443  df-tcph 23444
This theorem is referenced by:  ipcn  23520
  Copyright terms: Public domain W3C validator