Theorem ipcnlem1 25143

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
2		ipcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphnlm 25070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
7		nlmngp 24563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
9		ipcn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	10, 11	nmcl 24502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 11	nmge0 24503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
15	8, 9, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
16	13, 15	ge0p1rpd 12967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
17	3, 16	rpdivcld 12954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
18	1, 17	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
19		ipcn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	10, 11	nmcl 24502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
23	18	rpred 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 11144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25		0red 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26	10, 11	nmge0 24503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
27	8, 20, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
28	22, 18	ltaddrpd 12970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
30	24, 29	elrpd 12934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
31	3, 30	rpdivcld 12954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
32	19, 31	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
33	18, 32	ifcld 4523	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34		ipcn.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
35		ipcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
36	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
37	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
41		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43		ngpms 24486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
45	10, 35	mscl 24347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
47	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 12937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
49	32	rpred 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
52	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53		min2 13092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
54	52, 50, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
56	8, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
58	10, 35	mscl 24347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
61		min1 13091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
62	52, 50, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 25142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
65	64	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
66	65	ralrimivva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
70	69	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71	70	2ralbidv 3193	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
72	71	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
73	33, 66, 72	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ifcif 4476   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  abscabs 15141  Basecbs 17120  ·_𝑖cip 17166  distcds 17170  MetSpcms 24204  normcnm 24462  NrmGrpcngp 24463  NrmModcnlm 24466  ℂPreHilccph 25064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ico 13254  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-xrs 17406  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20765  df-lmhm 20926  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-phl 21533  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-xms 24206  df-ms 24207  df-nm 24468  df-ngp 24469  df-tng 24470  df-nlm 24472  df-clm 24961  df-cph 25066  df-tcph 25067

This theorem is referenced by:  ipcn  25144