MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem1 24993
Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipcn.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
ipcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
ipcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
ipcn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
ipcn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
ipcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ipcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   𝐷,π‘Ÿ   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   , ,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1))
2 ipcn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 ipcn.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 cphnlm 24920 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
7 nlmngp 24414 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
9 ipcn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 ipcn.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
1210, 11nmcl 24345 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
138, 9, 12syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1410, 11nmge0 24346 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
158, 9, 14syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
1613, 15ge0p1rpd 13050 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) + 1) ∈ ℝ+)
173, 16rpdivcld 13037 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΄) + 1)) ∈ ℝ+)
181, 17eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
19 ipcn.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
20 ipcn.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2110, 11nmcl 24345 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
228, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
2318rpred 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ)
25 0red 11221 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2610, 11nmge0 24346 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
278, 20, 26syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΅))
2822, 18ltaddrpd 13053 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΅) < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 11376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π΅) + 𝑇))
3024, 29elrpd 13017 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅) + 𝑇) ∈ ℝ+)
313, 30rpdivcld 13037 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π΅) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3219, 31eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
3318, 32ifcld 4573 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
34 ipcn.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
35 ipcn.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
364adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
379adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3820adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
392adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
40 simprll 775 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
41 simprlr 776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
428adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
43 ngpms 24329 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
4510, 35mscl 24187 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
4644, 37, 40, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) ∈ ℝ)
4733adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
4847rpred 13020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ)
4932rpred 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5049adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
51 simprrl 777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
5223adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
53 min2 13173 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5452, 50, 53syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 11378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) < π‘ˆ)
568, 43syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
5756adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
5810, 35mscl 24187 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡𝐷𝑦) ∈ ℝ)
5957, 38, 41, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60 simprrr 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
61 min1 13172 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6252, 50, 61syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 11378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐷𝑦) < 𝑇)
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 24992 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)
6564expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
6665ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
67 breq2 5151 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ↔ (𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
68 breq2 5151 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ ↔ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
6967, 68anbi12d 629 . . . . 5 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))))
7069imbi1d 340 . . . 4 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)))
71702ralbidv 3216 . . 3 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)))
7271rspcev 3611 . 2 ((if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝐡𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
7333, 66, 72syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝐡𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (π‘₯ , 𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12978  abscabs 15185  Basecbs 17148  Β·π‘–cip 17206  distcds 17210  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306  NrmModcnlm 24309  β„‚PreHilccph 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-xrs 17452  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916  df-tcph 24917
This theorem is referenced by:  ipcn  24994
  Copyright terms: Public domain W3C validator