Theorem ipcnlem1 23842

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
ipcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
ipcn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
ipcn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ipcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ipcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   , ,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1))
2		ipcn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		cphnlm 23770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
7		nlmngp 23280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
9		ipcn.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
12	10, 11	nmcl 23219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
13	8, 9, 12	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 11	nmge0 23220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
15	8, 9, 14	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
16	13, 15	ge0p1rpd 12455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
17	3, 16	rpdivcld 12442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
18	1, 17	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
19		ipcn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
21	10, 11	nmcl 23219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
22	8, 20, 21	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
23	18	rpred 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 10664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
25		0red 10638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
26	10, 11	nmge0 23220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
27	8, 20, 26	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐵))
28	22, 18	ltaddrpd 12458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 10792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝐵) + 𝑇))
30	24, 29	elrpd 12422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ+)
31	3, 30	rpdivcld 12442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
32	19, 31	eqeltrid 2917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
33	18, 32	ifcld 4511	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
34		ipcn.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
35		ipcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
36	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
37	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
38	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
40		simprll 777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
41		simprlr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43		ngpms 23203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
45	10, 35	mscl 23065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) ∈ ℝ)
47	33	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
48	47	rpred 12425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
49	32	rpred 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
50	49	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
51		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
52	23	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
53		min2 12577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
54	52, 50, 53	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐴𝐷𝑥) < 𝑈)
56	8, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
57	56	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
58	10, 35	mscl 23065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) ∈ ℝ)
60		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
61		min1 12576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
62	52, 50, 61	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐷𝑦) < 𝑇)
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 23841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)
65	64	expr 459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
66	65	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
67		breq2 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
68		breq2 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
70	69	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
71	70	2ralbidv 3199	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)))
72	71	rspcev 3622	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝐵𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))
73	33, 66, 72	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐴𝐷𝑥) < 𝑟 ∧ (𝐵𝐷𝑦) < 𝑟) → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑥 , 𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ifcif 4466   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  ℝ⁺crp 12383  abscabs 14587  Basecbs 16477  ·_𝑖cip 16564  distcds 16568  MetSpcms 22922  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmModcnlm 23184  ℂPreHilccph 23764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-xrs 16769  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-staf 19610  df-srng 19611  df-lmod 19630  df-lmhm 19788  df-lvec 19869  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-phl 20764  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-tng 23188  df-nlm 23190  df-clm 23661  df-cph 23766  df-tcph 23767

This theorem is referenced by:  ipcn  23843