MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycls 26920
Description: The set of cycles (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
cycls (Cycles‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))}
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Proof of Theorem cycls
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biidd 252 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)) ↔ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓))))
2 wksv 26750 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
3 pthiswlk 26858 . . . . . 6 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
43ssopab2i 5136 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝}
52, 4ssexi 4937 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝} ∈ V
65a1i 11 . . 3 (⊤ → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝} ∈ V)
7 df-cycls 26918 . . 3 Cycles = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
81, 6, 7fvmptopab 6844 . 2 (⊤ → (Cycles‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))})
98trud 1641 1 (Cycles‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  {copab 4846  cfv 6031  0cc0 10138  chash 13321  Walkscwlks 26727  Pathscpths 26843  Cyclesccycls 26916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-pths 26847  df-cycls 26918
This theorem is referenced by:  iscycl  26922
  Copyright terms: Public domain W3C validator