Theorem iscycl 27280

Description: Sufficient and necessary conditions for a pair of functions to be a cycle (in an undirected graph): A pair of function "is" (represents) a cycle iff it is a closed path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
iscycl	⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))

Proof of Theorem iscycl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycls 27278	. 2 ⊢ (Cycles‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))}
2		fveq1 6498	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
3	2	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝‘0) = (𝑃‘0))
4		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
5		fveq2 6499	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
6	5	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
7	4, 6	fveq12d 6506	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
8	3, 7	eqeq12d 2794	. 2 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ((𝑝‘0) = (𝑝‘(♯‘𝑓)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
9		relpths 27209	. 2 ⊢ Rel (Paths‘𝐺)
10	1, 8, 9	brfvopabrbr 6592	1 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  0cc0 10335  ♯chash 13505  Pathscpths 27201  Cyclesccycls 27274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-wlks 27084  df-trls 27180  df-pths 27205  df-cycls 27276

This theorem is referenced by:  cyclprop  27282  cycliscrct  27288  cyclnspth  27289  cyclispthon  27290  0cycl  27663  lp1cycl  27681  3cycld  27707