Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeqvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeqvrel2 38301
Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfeqvrel2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2
StepHypRef Expression
1 df-eqvrel 38296 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2 refsymrel2 38278 . . . 4 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3 dftrrel2 38288 . . . 4 ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
42, 3anbi12i 626 . . 3 ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5 df-3an 1086 . . 3 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6 df-3an 1086 . . . . 5 ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅))
76anbi1i 622 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8 3anan32 1094 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9 anandi3r 1100 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
107, 8, 93bitr2i 298 . . 3 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
114, 5, 103bitr4i 302 . 2 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
121, 11bitri 274 1 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084  wss 3946   I cid 5571  ccnv 5673  dom cdm 5674  cres 5676  ccom 5678  Rel wrel 5679   RefRel wrefrel 37895   SymRel wsymrel 37901   TrRel wtrrel 37904   EqvRel weqvrel 37906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5146  df-opab 5208  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-refrel 38223  df-symrel 38255  df-trrel 38285  df-eqvrel 38296
This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  38305  eqvrelrel  38308  eqvreltr  38318
  Copyright terms: Public domain W3C validator