Theorem dfeqvrel2 39343

Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfeqvrel2	⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 39338	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2		refsymrel2 39320	. . . 4 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3		dftrrel2 39330	. . . 4 ⊢ ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
4	2, 3	anbi12i 639	. . 3 ⊢ ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5		df-3an 1105	. . 3 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅))
7	6	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8		3anan32 1113	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9		anandi3r 1120	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
10	7, 8, 9	3bitr2i 302	. . 3 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
11	4, 5, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
12	1, 11	bitri 278	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ⊆ wss 3905   I cid 5555  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  Rel wrel 5666   RefRel wrefrel 38858   SymRel wsymrel 38864   TrRel wtrrel 38867   EqvRel weqvrel 38869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-refrel 39261  df-symrel 39293  df-trrel 39327  df-eqvrel 39338

This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  39347  eqvrelrel  39350  eqvreltr  39360