Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeqvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeqvrel2 38118
Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfeqvrel2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2
StepHypRef Expression
1 df-eqvrel 38113 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2 refsymrel2 38095 . . . 4 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3 dftrrel2 38105 . . . 4 ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
42, 3anbi12i 626 . . 3 ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5 df-3an 1086 . . 3 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6 df-3an 1086 . . . . 5 ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅))
76anbi1i 622 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8 3anan32 1094 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9 anandi3r 1100 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
107, 8, 93bitr2i 298 . . 3 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
114, 5, 103bitr4i 302 . 2 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
121, 11bitri 274 1 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084  wss 3939   I cid 5569  ccnv 5671  dom cdm 5672  cres 5674  ccom 5676  Rel wrel 5677   RefRel wrefrel 37711   SymRel wsymrel 37717   TrRel wtrrel 37720   EqvRel weqvrel 37722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-refrel 38040  df-symrel 38072  df-trrel 38102  df-eqvrel 38113
This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  38122  eqvrelrel  38125  eqvreltr  38135
  Copyright terms: Public domain W3C validator