Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeqvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeqvrel2 38591
Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfeqvrel2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2
StepHypRef Expression
1 df-eqvrel 38586 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2 refsymrel2 38568 . . . 4 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3 dftrrel2 38578 . . . 4 ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
42, 3anbi12i 628 . . 3 ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5 df-3an 1089 . . 3 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6 df-3an 1089 . . . . 5 ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅))
76anbi1i 624 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8 3anan32 1097 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9 anandi3r 1103 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
107, 8, 93bitr2i 299 . . 3 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
114, 5, 103bitr4i 303 . 2 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
121, 11bitri 275 1 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087  wss 3951   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  cres 5687  ccom 5689  Rel wrel 5690   RefRel wrefrel 38188   SymRel wsymrel 38194   TrRel wtrrel 38197   EqvRel weqvrel 38199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-refrel 38513  df-symrel 38545  df-trrel 38575  df-eqvrel 38586
This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  38595  eqvrelrel  38598  eqvreltr  38608
  Copyright terms: Public domain W3C validator