Theorem dfeqvrel2 39173

Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfeqvrel2	⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 39168	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2		refsymrel2 39150	. . . 4 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3		dftrrel2 39160	. . . 4 ⊢ ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
4	2, 3	anbi12i 637	. . 3 ⊢ ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5		df-3an 1100	. . 3 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6		df-3an 1100	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅))
7	6	anbi1i 633	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8		3anan32 1108	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9		anandi3r 1115	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
10	7, 8, 9	3bitr2i 301	. . 3 ⊢ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
11	4, 5, 10	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
12	1, 11	bitri 277	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ⊆ wss 3904   I cid 5541  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  Rel wrel 5652   RefRel wrefrel 38688   SymRel wsymrel 38694   TrRel wtrrel 38697   EqvRel weqvrel 38699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-refrel 39091  df-symrel 39123  df-trrel 39157  df-eqvrel 39168

This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  39177  eqvrelrel  39180  eqvreltr  39190