Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeqvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeqvrel2 35705
Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfeqvrel2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfeqvrel2
StepHypRef Expression
1 df-eqvrel 35700 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2 refsymrel2 35683 . . . 4 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅))
3 dftrrel2 35693 . . . 4 ( TrRel 𝑅 ↔ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
42, 3anbi12i 626 . . 3 ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
5 df-3an 1081 . . 3 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6 df-3an 1081 . . . . 5 ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅))
76anbi1i 623 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
8 3anan32 1089 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
9 anandi3r 1095 . . . 4 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
107, 8, 93bitr2i 300 . . 3 (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅) ∧ Rel 𝑅) ∧ ((𝑅𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅)))
114, 5, 103bitr4i 304 . 2 (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
121, 11bitri 276 1 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079  wss 3933   I cid 5452  ccnv 5547  dom cdm 5548  cres 5550  ccom 5552  Rel wrel 5553   RefRel wrefrel 35340   SymRel wsymrel 35346   TrRel wtrrel 35349   EqvRel weqvrel 35351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-refrel 35632  df-symrel 35660  df-trrel 35690  df-eqvrel 35700
This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  35709  eqvrelrel  35712  eqvreltr  35722
  Copyright terms: Public domain W3C validator