Theorem dfeqvrels3 38545

Description: Alternate definition of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfeqvrels3	⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfeqvrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeqvrels2 38544	. 2 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		idrefALT 6143	. . 3 ⊢ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥)
3		cnvsym 6144	. . 3 ⊢ (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥))
4		cotr 6142	. . 3 ⊢ ((𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))
5	2, 3, 4	3anbi123i 1155	. 2 ⊢ ((( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧)))
6	1, 5	rabbieq 3452	1 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   I cid 5592  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704   Rels crels 38137   EqvRels ceqvrels 38151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2158  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-rels 38441  df-ssr 38454  df-refs 38466  df-refrels 38467  df-syms 38498  df-symrels 38499  df-trs 38528  df-trrels 38529  df-eqvrels 38540

This theorem is referenced by:  eleqvrels3  38549