Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeqvrels3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeqvrels3 37762
Description: Alternate definition of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfeqvrels3 EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfeqvrels3
StepHypRef Expression
1 dfeqvrels2 37761 . 2 EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟)}
2 idrefALT 6111 . . 3 (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥)
3 cnvsym 6112 . . 3 (𝑟𝑟 ↔ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥))
4 cotr 6110 . . 3 ((𝑟𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))
52, 3, 43anbi123i 1153 . 2 ((( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟𝑟 ∧ (𝑟𝑟) ⊆ 𝑟) ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧)))
61, 5rabbieq 37421 1 EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085  wal 1537   = wceq 1539  wral 3059  {crab 3430  wss 3947   class class class wbr 5147   I cid 5572  ccnv 5674  dom cdm 5675  cres 5677  ccom 5679   Rels crels 37348   EqvRels ceqvrels 37362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-rels 37658  df-ssr 37671  df-refs 37683  df-refrels 37684  df-syms 37715  df-symrels 37716  df-trs 37745  df-trrels 37746  df-eqvrels 37757
This theorem is referenced by:  eleqvrels3  37766
  Copyright terms: Public domain W3C validator