Theorem dfeqvrels3 35826

Description: Alternate definition of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 2-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfeqvrels3	⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfeqvrels3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeqvrels2 35825	. 2 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		idrefALT 5975	. . 3 ⊢ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥)
3		cnvsym 5976	. . 3 ⊢ (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥))
4		cotr 5974	. . 3 ⊢ ((𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))
5	2, 3, 4	3anbi123i 1151	. 2 ⊢ ((( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) ↔ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧)))
6	1, 5	rabbieq 35514	1 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (∀𝑥 ∈ dom 𝑟 𝑥𝑟𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 → 𝑦𝑟𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑟𝑦 ∧ 𝑦𝑟𝑧) → 𝑥𝑟𝑧))}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∀wral 3140  {crab 3144   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   I cid 5461  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557   ↾ cres 5559   ∘ ccom 5561   Rels crels 35457   EqvRels ceqvrels 35471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-rels 35727  df-ssr 35740  df-refs 35752  df-refrels 35753  df-syms 35780  df-symrels 35781  df-trs 35810  df-trrels 35811  df-eqvrels 35821

This theorem is referenced by:  eleqvrels3  35830