Theorem dfeqvrel3 38926

Description: Alternate definition of the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfeqvrel3	⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfeqvrel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eqvrel 38920	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅))
2		refsymrel3 38903	. . . 4 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅))
3		dftrrel3 38913	. . . 4 ⊢ ( TrRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ∧ Rel 𝑅))
4	2, 3	anbi12i 629	. . 3 ⊢ ((( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅) ↔ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅) ∧ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ∧ Rel 𝑅)))
5		df-3an 1089	. . 3 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅) ∧ TrRel 𝑅))
6		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅))
8		3anan32 1097	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅))
9		anandi3r 1103	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅) ∧ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ∧ Rel 𝑅)))
10	7, 8, 9	3bitr2i 299	. . 3 ⊢ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅) ↔ (((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)) ∧ Rel 𝑅) ∧ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧) ∧ Rel 𝑅)))
11	4, 5, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅) ↔ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅))
12	1, 11	bitri 275	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((∀𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Rel wrel 5637   RefRel wrefrel 38440   SymRel wsymrel 38446   TrRel wtrrel 38449   EqvRel weqvrel 38451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-refrel 38843  df-symrel 38875  df-trrel 38909  df-eqvrel 38920

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss3  38953