Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleqvrelsrel 38118
Description: For sets, being an element of the class of equivalence relations is equivalent to satisfying the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
eleqvrelsrel (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Proof of Theorem eleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elrelsrel 38011 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
21anbi2d 628 . 2 (𝑅𝑉 → (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅)))
3 eleqvrels2 38116 . 2 (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4 dfeqvrel2 38114 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
52, 3, 43bitr4g 313 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wss 3941   I cid 5570  ccnv 5672  dom cdm 5673  cres 5675  ccom 5677  Rel wrel 5678   Rels crels 37703   EqvRels ceqvrels 37717   EqvRel weqvrel 37718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-rels 38009  df-ssr 38022  df-refs 38034  df-refrels 38035  df-refrel 38036  df-syms 38066  df-symrels 38067  df-symrel 38068  df-trs 38096  df-trrels 38097  df-trrel 38098  df-eqvrels 38108  df-eqvrel 38109
This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  38120  brerser  38201
  Copyright terms: Public domain W3C validator