Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleqvrelsrel 35934
Description: For sets, being an element of the class of equivalence relations is equivalent to satisfying the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
eleqvrelsrel (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Proof of Theorem eleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elrelsrel 35832 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
21anbi2d 631 . 2 (𝑅𝑉 → (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅)))
3 eleqvrels2 35932 . 2 (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4 dfeqvrel2 35930 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
52, 3, 43bitr4g 317 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115  wss 3919   I cid 5446  ccnv 5541  dom cdm 5542  cres 5544  ccom 5546  Rel wrel 5547   Rels crels 35560   EqvRels ceqvrels 35574   EqvRel weqvrel 35575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5053  df-opab 5115  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-rels 35830  df-ssr 35843  df-refs 35855  df-refrels 35856  df-refrel 35857  df-syms 35883  df-symrels 35884  df-symrel 35885  df-trs 35913  df-trrels 35914  df-trrel 35915  df-eqvrels 35924  df-eqvrel 35925
This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  35936  brerser  36015
  Copyright terms: Public domain W3C validator