Theorem eleqvrelsrel 38592

Description: For sets, being an element of the class of equivalence relations is equivalent to satisfying the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eleqvrelsrel	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Proof of Theorem eleqvrelsrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrelsrel 38485	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
2	1	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅)))
3		eleqvrels2 38590	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4		dfeqvrel2 38588	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   I cid 5535  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  Rel wrel 5646   Rels crels 38178   EqvRels ceqvrels 38192   EqvRel weqvrel 38193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-rels 38483  df-ssr 38496  df-refs 38508  df-refrels 38509  df-refrel 38510  df-syms 38540  df-symrels 38541  df-symrel 38542  df-trs 38570  df-trrels 38571  df-trrel 38572  df-eqvrels 38582  df-eqvrel 38583

This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  38594  brerser  38676