Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleqvrelsrel 38595
Description: For sets, being an element of the class of equivalence relations is equivalent to satisfying the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
eleqvrelsrel (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Proof of Theorem eleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elrelsrel 38488 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
21anbi2d 630 . 2 (𝑅𝑉 → (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅)))
3 eleqvrels2 38593 . 2 (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4 dfeqvrel2 38591 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
52, 3, 43bitr4g 314 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wss 3951   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  cres 5687  ccom 5689  Rel wrel 5690   Rels crels 38184   EqvRels ceqvrels 38198   EqvRel weqvrel 38199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-rels 38486  df-ssr 38499  df-refs 38511  df-refrels 38512  df-refrel 38513  df-syms 38543  df-symrels 38544  df-symrel 38545  df-trs 38573  df-trrels 38574  df-trrel 38575  df-eqvrels 38585  df-eqvrel 38586
This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  38597  brerser  38678
  Copyright terms: Public domain W3C validator