Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eleqvrelsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleqvrelsrel 37085
Description: For sets, being an element of the class of equivalence relations is equivalent to satisfying the equivalence relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
eleqvrelsrel (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))

Proof of Theorem eleqvrelsrel
StepHypRef Expression
1 elrelsrel 36978 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ Rels ↔ Rel 𝑅))
21anbi2d 630 . 2 (𝑅𝑉 → (((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅)))
3 eleqvrels2 37083 . 2 (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))
4 dfeqvrel2 37081 . 2 ( EqvRel 𝑅 ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅𝑅𝑅 ∧ (𝑅𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ Rel 𝑅))
52, 3, 43bitr4g 314 1 (𝑅𝑉 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wss 3915   I cid 5535  ccnv 5637  dom cdm 5638  cres 5640  ccom 5642  Rel wrel 5643   Rels crels 36665   EqvRels ceqvrels 36679   EqvRel weqvrel 36680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-rels 36976  df-ssr 36989  df-refs 37001  df-refrels 37002  df-refrel 37003  df-syms 37033  df-symrels 37034  df-symrel 37035  df-trs 37063  df-trrels 37064  df-trrel 37065  df-eqvrels 37075  df-eqvrel 37076
This theorem is referenced by:  elcoeleqvrelsrel  37087  brerser  37168
  Copyright terms: Public domain W3C validator