Theorem eleqvrels2 38788

Description: Element of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eleqvrels2	⊢ (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eleqvrels2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeqvrels2 38784	. 2 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		dmeq 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → dom 𝑟 = dom 𝑅)
3	2	reseq2d 5936	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ( I ↾ dom 𝑟) = ( I ↾ dom 𝑅))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
5	3, 4	sseq12d 3965	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅))
6		cnveq 5820	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡𝑟 = ◡𝑅)
7	6, 4	sseq12d 3965	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑅 ⊆ 𝑅))
8		coideq 38383	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑟) = (𝑅 ∘ 𝑅))
9	8, 4	sseq12d 3965	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅))
10	5, 7, 9	3anbi123d 1438	. 2 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) ↔ (( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅)))
11	1, 10	rabeqel 38391	1 ⊢ (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   I cid 5516  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626   Rels crels 38324   EqvRels ceqvrels 38338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-rels 38564  df-ssr 38690  df-refs 38702  df-refrels 38703  df-syms 38734  df-symrels 38735  df-trs 38768  df-trrels 38769  df-eqvrels 38780

This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  38790