Theorem eleqvrels2 36632

Description: Element of the class of equivalence relations. (Contributed by Peter Mazsa, 24-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eleqvrels2	⊢ (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem eleqvrels2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeqvrels2 36628	. 2 ⊢ EqvRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		dmeq 5801	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → dom 𝑟 = dom 𝑅)
3	2	reseq2d 5880	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ( I ↾ dom 𝑟) = ( I ↾ dom 𝑅))
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
5	3, 4	sseq12d 3950	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ ( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅))
6		cnveq 5771	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡𝑟 = ◡𝑅)
7	6, 4	sseq12d 3950	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑅 ⊆ 𝑅))
8		coideq 36312	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∘ 𝑟) = (𝑅 ∘ 𝑅))
9	8, 4	sseq12d 3950	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟 ↔ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅))
10	5, 7, 9	3anbi123d 1434	. 2 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟 ∧ ◡𝑟 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟) ↔ (( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅)))
11	1, 10	rabeqel 36321	1 ⊢ (𝑅 ∈ EqvRels ↔ ((( I ↾ dom 𝑅) ⊆ 𝑅 ∧ ◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   I cid 5479  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584   Rels crels 36262   EqvRels ceqvrels 36276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-rels 36530  df-ssr 36543  df-refs 36555  df-refrels 36556  df-syms 36583  df-symrels 36584  df-trs 36613  df-trrels 36614  df-eqvrels 36624

This theorem is referenced by:  eleqvrelsrel  36634