Theorem dffr7 36897

Description: Alternate quantifier-free definition of a well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dffr7	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

Proof of Theorem dffr7

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elfix 36842	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ 𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥)
3	1, 1	coep 36694	. . . 4 ⊢ (𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦)
4		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	1, 4	coepr 36695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
6	5	notbii 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
7		brv 5445	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥V𝑦
8		brdif 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ (𝑥V𝑦 ∧ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦))
9	7, 8	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦)
10		ralnex 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
11	6, 9, 10	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
12	11	rexbii 3113	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
13	2, 3, 12	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
14	13	ralbii 3112	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
15		dfss3 3902	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))
16		dffr6 5611	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
17	14, 15, 16	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106   E cep 5554   Fr wfr 5605  ^◡ccnv 5654   ∘ ccom 5659   Fix cfix 36774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-eprel 5555  df-fr 5608  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-fix 36798

This theorem is used by: (None)