Theorem dffr7 36522

Description: Alternate quantifier-free definition of a well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dffr7	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

Proof of Theorem dffr7

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elfix 36467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ 𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥)
3	1, 1	coep 36318	. . . 4 ⊢ (𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦)
4		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	1, 4	coepr 36319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
6	5	notbii 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
7		brv 5452	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥V𝑦
8		brdif 5162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ (𝑥V𝑦 ∧ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦))
9	7, 8	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦)
10		ralnex 3090	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
11	6, 9, 10	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
12	11	rexbii 3111	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
13	2, 3, 12	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
14	13	ralbii 3110	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
15		dfss3 3923	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))
16		dffr6 5615	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
17	14, 15, 16	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107   E cep 5558   Fr wfr 5609  ^◡ccnv 5658   ∘ ccom 5663   Fix cfix 36399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-eprel 5559  df-fr 5612  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-fix 36423

This theorem is used by: (None)