Theorem dffr7 36720

Description: Alternate quantifier-free definition of a well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dffr7	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

Proof of Theorem dffr7

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elfix 36665	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ 𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥)
3	1, 1	coep 36517	. . . 4 ⊢ (𝑥( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E )))𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦)
4		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	1, 4	coepr 36518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
6	5	notbii 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
7		brv 5440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥V𝑦
8		brdif 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ (𝑥V𝑦 ∧ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦))
9	7, 8	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ¬ 𝑥(𝑅 ∘ ◡ E )𝑦)
10		ralnex 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑦)
11	6, 9, 10	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
12	11	rexbii 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 𝑥(V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
13	2, 3, 12	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
14	13	ralbii 3108	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
15		dfss3 3897	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))
16		dffr6 5606	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)
17	14, 15, 16	3bitr4ri 307	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ⊆ Fix ( E ∘ (V ∖ (𝑅 ∘ ◡ E ))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583   class class class wbr 5102   E cep 5549   Fr wfr 5600  ^◡ccnv 5649   ∘ ccom 5654   Fix cfix 36597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-eprel 5550  df-fr 5603  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-fix 36621

This theorem is used by: (None)