Theorem elfix 35904

Description: Membership in the fixpoints of a class. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfix.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elfix	⊢ (𝐴 ∈ Fix 𝑅 ↔ 𝐴𝑅𝐴)

Proof of Theorem elfix

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fix 35860	. . 3 ⊢ Fix 𝑅 = dom (𝑅 ∩ I )
2	1	eleq2i 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fix 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ dom (𝑅 ∩ I ))
3		elfix.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	eldm 5911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom (𝑅 ∩ I ) ↔ ∃𝑥 𝐴(𝑅 ∩ I )𝑥)
5		brin 5195	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ I )𝑥 ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐴 I 𝑥))
6		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐴 I 𝑥) ↔ (𝐴 I 𝑥 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
7		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	ideq 5863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 I 𝑥 ↔ 𝐴 = 𝑥)
9		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐴)
10	8, 9	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 I 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝐴)
11	10	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 I 𝑥 ∧ 𝐴𝑅𝑥) ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
12	5, 6, 11	3bitri 297	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ I )𝑥 ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
13	12	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝐴(𝑅 ∩ I )𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
14	4, 13	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom (𝑅 ∩ I ) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑥))
15		breq2 5147	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑅𝑥 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
16	3, 15	ceqsexv 3532	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑥) ↔ 𝐴𝑅𝐴)
17	2, 14, 16	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fix 𝑅 ↔ 𝐴𝑅𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143   I cid 5577  dom cdm 5685   Fix cfix 35836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-dm 5695  df-fix 35860

This theorem is referenced by:  elfix2  35905  dffix2  35906  fixcnv  35909  ellimits  35911  elfuns  35916  dfrecs2  35951  dfrdg4  35952