Theorem djuex 9909

Description: The disjoint union of sets is a set. For a shorter proof using djuss 9921 see djuexALT 9923. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9902	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		snex 5431	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4		xpexg 7741	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
5	3, 4	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7		snex 5431	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		xpexg 7741	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
11		unexg 7740	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
12	6, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946  ∅c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  1_oc1o 8465   ⊔ cdju 9899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-dju 9902

This theorem is referenced by:  djuexb  9910  updjud  9935  dju1dif  10173  pwdjuen  10182  alephadd  10578  gchhar  10680