Theorem djuex 9339

Description: The disjoint union of sets is a set. For a shorter proof using djuss 9351 see djuexALT 9353. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9332	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		snex 5334	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4		xpexg 7475	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
5	3, 4	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
6	5	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7		snex 5334	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		xpexg 7475	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
11		unexg 7474	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
12	6, 10, 11	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2919	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∪ cun 3936  ∅c0 4293  {csn 4569   × cxp 5555  1_oc1o 8097   ⊔ cdju 9329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-opab 5131  df-xp 5563  df-rel 5564  df-dju 9332

This theorem is referenced by:  djuexb  9340  updjud  9365  dju1dif  9600  pwdjuen  9609  alephadd  10001  gchhar  10103