Theorem djuex 9868

Description: The disjoint union of sets is a set. For a shorter proof using djuss 9880 see djuexALT 9882. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9861	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		snex 5398	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4		xpexg 7735	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
5	3, 4	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
6	5	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7		snex 5398	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		xpexg 7735	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
11		unexg 7728	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
12	6, 10, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2868	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∪ cun 3904  ∅c0 4287  {csn 4584   × cxp 5647  1_oc1o 8432   ⊔ cdju 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-opab 5165  df-xp 5655  df-rel 5656  df-dju 9861

This theorem is referenced by:  djuexb  9869  updjud  9894  dju1dif  10131  pwdjuen  10140  alephadd  10537  gchhar  10639