Theorem djuex 9960

Description: The disjoint union of sets is a set. For a shorter proof using djuss 9972 see djuexALT 9974. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9953	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		snex 5396	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {∅} ∈ V)
4		xpexg 7747	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
5	3, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
6	5	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
7		snex 5396	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		xpexg 7747	. . . 4 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1o} × 𝐵) ∈ V)
11		unexg 7743	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
12	6, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
13	1, 12	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  {csn 4583   × cxp 5645  1_oc1o 8447   ⊔ cdju 9950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-dju 9953

This theorem is used by:  djuexb  9961  updjud  9986  dju1dif  10222  pwdjuen  10231  alephadd  10633  gchhar  10735