Theorem xpexg 7453

Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 7664. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5646	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 7452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 5244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 5244	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 5191	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   × cxp 5517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526

This theorem is referenced by:  xpexd  7454  3xpexg  7455  xpex  7456  sqxpexg  7457  coexg  7616  fex2  7620  fabexg  7621  resfunexgALT  7631  fnexALT  7634  funexw  7635  opabex3d  7648  opabex3rd  7649  opabex3  7650  mpoexxg  7756  fnwelem  7808  pmex  8394  mapex  8395  pmvalg  8400  elpmg  8405  fvdiagfn  8438  ixpexg  8469  snmapen  8573  xpdom2  8595  xpdom3  8598  omxpen  8602  fodomr  8652  disjenex  8659  domssex2  8661  domssex  8662  mapxpen  8667  xpfi  8773  fczfsuppd  8835  brwdom2  9021  xpwdomg  9033  unxpwdom2  9036  djuex  9321  djuexALT  9335  fseqen  9438  djuassen  9589  mapdjuen  9591  djudom1  9593  djuinf  9599  hsmexlem2  9838  axdc2lem  9859  iundom2g  9951  fpwwe2lem13  10053  pwsbas  16752  pwsle  16757  pwssca  16761  isga  18413  efgtf  18840  frgpcpbl  18877  frgp0  18878  frgpeccl  18879  frgpadd  18881  frgpmhm  18883  vrgpf  18886  vrgpinv  18887  frgpupf  18891  frgpup1  18893  frgpup2  18894  frgpup3lem  18895  frgpnabllem1  18986  frgpnabllem2  18987  gsum2d2  19087  gsumcom2  19088  dprd2da  19157  pwssplit3  19826  mpofrlmd  20466  frlmip  20467  mattposvs  21060  mat1dimelbas  21076  mdetrlin  21207  lmfval  21837  txbasex  22171  txopn  22207  txcn  22231  txrest  22236  txindislem  22238  xkoinjcn  22292  blfvalps  22990  bcthlem1  23928  bcthlem5  23932  rrxip  23994  isvcOLD  28362  resf1o  30492  locfinref  31194  esum2dlem  31461  esum2d  31462  elsx  31563  satfv0  32718  satf00  32734  filnetlem3  33841  filnetlem4  33842  bj-xpexg2  34396  inxpex  35756  xrninxpex  35802  relexpxpnnidm  40404  enrelmap  40698  mpoexxg2  44739