Theorem xpexg 7785

Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 8022. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5833	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 7778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 5396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 5396	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 5341	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 586	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707

This theorem is referenced by:  xpexd  7786  3xpexg  7787  xpex  7788  sqxpexg  7790  coexg  7969  fex2  7974  fabexgOLD  7977  resfunexgALT  7988  fnexALT  7991  funexw  7992  opabex3d  8006  opabex3rd  8007  opabex3  8008  mpoexxg  8116  fnwelem  8172  naddunif  8749  pmex  8889  mapexOLD  8890  pmvalg  8895  elpmg  8901  fvdiagfn  8949  ixpexg  8980  snmapen  9103  xpdom2  9133  xpdom3  9136  omxpen  9140  fodomr  9194  disjenex  9201  domssex2  9203  domssex  9204  mapxpen  9209  xpfiOLD  9387  fczfsuppd  9455  brwdom2  9642  xpwdomg  9654  unxpwdom2  9657  djuex  9977  djuexALT  9991  fseqen  10096  djuassen  10248  mapdjuen  10250  djudom1  10252  djuinf  10258  hsmexlem2  10496  axdc2lem  10517  iundom2g  10609  fpwwe2lem12  10711  pwsbas  17547  pwsle  17552  pwssca  17556  isga  19331  efgtf  19764  frgpcpbl  19801  frgp0  19802  frgpeccl  19803  frgpadd  19805  frgpmhm  19807  vrgpf  19810  vrgpinv  19811  frgpupf  19815  frgpup1  19817  frgpup2  19818  frgpup3lem  19819  frgpnabllem1  19915  frgpnabllem2  19916  gsum2d2  20016  gsumcom2  20017  dprd2da  20086  pwssplit3  21083  mpofrlmd  21820  frlmip  21821  mattposvs  22482  mat1dimelbas  22498  mdetrlin  22629  lmfval  23261  txbasex  23595  txopn  23631  txrest  23660  txindislem  23662  xkoinjcn  23716  blfvalps  24414  bcthlem1  25377  bcthlem5  25381  rrxip  25443  isvcOLD  30611  resf1o  32744  locfinref  33787  esum2dlem  34056  esum2d  34057  elsx  34158  satfv0  35326  satf00  35342  filnetlem3  36346  filnetlem4  36347  bj-xpexg2  36926  inxpex  38295  xrninxpex  38350  aks6d1c2  42087  relexpxpnnidm  43665  enrelmap  43959  mpoexxg2  48062  eufsn2  48556