Theorem xpexg 7753

Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 7982. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5794	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 7749	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 5347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 5347	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 5288	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560   × cxp 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666

This theorem is used by:  xpexd  7754  3xpexg  7755  xpex  7756  sqxpexg  7758  coexg  7930  fex2  7937  resfunexgALT  7949  fnexALT  7952  funexw  7953  opabex3d  7966  opabex3rd  7967  opabex3  7968  mpoexxg  8078  fnwelem  8133  naddunif  8686  pmex  8835  pmvalg  8840  elpmg  8846  fvdiagfn  8902  ixpexg  8933  snmapen  9049  xpdom2  9074  xpdom3  9077  omxpen  9081  fodomr  9130  disjenex  9137  domssex2  9139  domssex  9140  mapxpen  9145  fczfsuppd  9360  brwdom2  9549  xpwdomg  9561  unxpwdom2  9564  djuex  9917  djuexALT  9931  fseqen  10034  djuassen  10185  mapdjuen  10187  djudom1  10189  djuinf  10195  hsmexlem2  10433  axdc2lem  10454  iundom2g  10552  fpwwe2lem12  10655  pwsbas  17578  pwsle  17584  pwssca  17588  isga  19424  efgtf  19855  frgpcpbl  19892  frgp0  19893  frgpeccl  19894  frgpadd  19896  frgpmhm  19898  vrgpf  19901  vrgpinv  19902  frgpupf  19906  frgpup1  19908  frgpup2  19909  frgpup3lem  19910  frgpnabllem1  20006  frgpnabllem2  20007  gsum2d2  20107  gsumcom2  20108  dprd2da  20177  pwssplit3  21251  mpofrlmd  21996  frlmip  21997  mattposvs  22683  mat1dimelbas  22699  mdetrlin  22830  lmfval  23463  txbasex  23798  txopn  23834  txrest  23863  txindislem  23865  xkoinjcn  23919  blfvalps  24615  bcthlem1  25558  bcthlem5  25562  rrxip  25624  isvcOLD  31068  resf1o  33209  locfinref  34359  esum2dlem  34610  esum2d  34611  elsx  34713  satfv0  35945  satf00  35961  filnetlem3  37007  filnetlem4  37008  bj-xpexg2  37712  inxpex  39095  xrninxpex  39173  aks6d1c2  43004  relexpxpnnidm  44551  enrelmap  44845  mpoexxg2  49276  eufsn2  49779