Theorem xpexg 7737

Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 7968. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5810	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 7736	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 5377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 5377	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 5324	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 588	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   × cxp 5675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684

This theorem is referenced by:  xpexd  7738  3xpexg  7739  xpex  7740  sqxpexg  7742  coexg  7920  fex2  7924  fabexg  7925  resfunexgALT  7934  fnexALT  7937  funexw  7938  opabex3d  7952  opabex3rd  7953  opabex3  7954  mpoexxg  8062  fnwelem  8117  naddunif  8692  pmex  8825  mapex  8826  pmvalg  8831  elpmg  8837  fvdiagfn  8885  ixpexg  8916  snmapen  9038  xpdom2  9067  xpdom3  9070  omxpen  9074  fodomr  9128  disjenex  9135  domssex2  9137  domssex  9138  mapxpen  9143  xpfiOLD  9318  fczfsuppd  9381  brwdom2  9568  xpwdomg  9580  unxpwdom2  9583  djuex  9903  djuexALT  9917  fseqen  10022  djuassen  10173  mapdjuen  10175  djudom1  10177  djuinf  10183  hsmexlem2  10422  axdc2lem  10443  iundom2g  10535  fpwwe2lem12  10637  pwsbas  17433  pwsle  17438  pwssca  17442  isga  19155  efgtf  19590  frgpcpbl  19627  frgp0  19628  frgpeccl  19629  frgpadd  19631  frgpmhm  19633  vrgpf  19636  vrgpinv  19637  frgpupf  19641  frgpup1  19643  frgpup2  19644  frgpup3lem  19645  frgpnabllem1  19741  frgpnabllem2  19742  gsum2d2  19842  gsumcom2  19843  dprd2da  19912  pwssplit3  20672  mpofrlmd  21332  frlmip  21333  mattposvs  21957  mat1dimelbas  21973  mdetrlin  22104  lmfval  22736  txbasex  23070  txopn  23106  txrest  23135  txindislem  23137  xkoinjcn  23191  blfvalps  23889  bcthlem1  24841  bcthlem5  24845  rrxip  24907  isvcOLD  29832  resf1o  31955  locfinref  32821  esum2dlem  33090  esum2d  33091  elsx  33192  satfv0  34349  satf00  34365  filnetlem3  35265  filnetlem4  35266  bj-xpexg2  35841  inxpex  37208  xrninxpex  37264  relexpxpnnidm  42454  enrelmap  42748  mpoexxg2  47013  eufsn2  47509