Theorem xpexg 7726

Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 7960. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 5772	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 7719	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 5333	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 5333	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 5278	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   × cxp 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645

This theorem is referenced by:  xpexd  7727  3xpexg  7728  xpex  7729  sqxpexg  7731  coexg  7905  fex2  7912  fabexgOLD  7915  resfunexgALT  7926  fnexALT  7929  funexw  7930  opabex3d  7944  opabex3rd  7945  opabex3  7946  mpoexxg  8054  fnwelem  8110  naddunif  8657  pmex  8804  mapexOLD  8805  pmvalg  8810  elpmg  8816  fvdiagfn  8864  ixpexg  8895  snmapen  9009  xpdom2  9036  xpdom3  9039  omxpen  9043  fodomr  9092  disjenex  9099  domssex2  9101  domssex  9102  mapxpen  9107  xpfiOLD  9270  fczfsuppd  9337  brwdom2  9526  xpwdomg  9538  unxpwdom2  9541  djuex  9861  djuexALT  9875  fseqen  9980  djuassen  10132  mapdjuen  10134  djudom1  10136  djuinf  10142  hsmexlem2  10380  axdc2lem  10401  iundom2g  10493  fpwwe2lem12  10595  pwsbas  17450  pwsle  17455  pwssca  17459  isga  19223  efgtf  19652  frgpcpbl  19689  frgp0  19690  frgpeccl  19691  frgpadd  19693  frgpmhm  19695  vrgpf  19698  vrgpinv  19699  frgpupf  19703  frgpup1  19705  frgpup2  19706  frgpup3lem  19707  frgpnabllem1  19803  frgpnabllem2  19804  gsum2d2  19904  gsumcom2  19905  dprd2da  19974  pwssplit3  20968  mpofrlmd  21686  frlmip  21687  mattposvs  22342  mat1dimelbas  22358  mdetrlin  22489  lmfval  23119  txbasex  23453  txopn  23489  txrest  23518  txindislem  23520  xkoinjcn  23574  blfvalps  24271  bcthlem1  25224  bcthlem5  25228  rrxip  25290  isvcOLD  30508  resf1o  32653  locfinref  33831  esum2dlem  34082  esum2d  34083  elsx  34184  satfv0  35345  satf00  35361  filnetlem3  36368  filnetlem4  36369  bj-xpexg2  36948  inxpex  38321  xrninxpex  38380  aks6d1c2  42118  relexpxpnnidm  43692  enrelmap  43986  mpoexxg2  48326  eufsn2  48831