Theorem djuexb 9898

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 9890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 7749	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0nep0 5332	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ {∅}
7	6	necomi 3019	. . . . 5 ⊢ {∅} ≠ ∅
8		rnexg 7902	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
9		rnxp 6172	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
10	9	eleq1d 2855	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (ran ({∅} × 𝐴) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
13		1oex 8466	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	13	snnz 4747	. . . . 5 ⊢ {1o} ≠ ∅
15		rnexg 7902	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
16		rnxp 6172	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
17	16	eleq1d 2855	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (ran ({1o} × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
18	15, 17	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
20	12, 19	anim12i 624	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21	5, 20	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
22	1, 21	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  Vcvv 3462   ∪ cun 3911  ∅c0 4294  {csn 4594   × cxp 5663  ran crn 5666  1_oc1o 8449   ⊔ cdju 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-11 2199  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2099  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-dm 5675  df-rn 5676  df-suc 6370  df-1o 8456  df-dju 9890

This theorem is referenced by:  djuinf  10175  pwdjudom  10201