Theorem djuexb 9862

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 9854	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 7723	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0nep0 5313	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ {∅}
7	6	necomi 2979	. . . . 5 ⊢ {∅} ≠ ∅
8		rnexg 7878	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
9		rnxp 6143	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
10	9	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (ran ({∅} × 𝐴) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
13		1oex 8444	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	13	snnz 4740	. . . . 5 ⊢ {1o} ≠ ∅
15		rnexg 7878	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
16		rnxp 6143	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
17	16	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (ran ({1o} × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
18	15, 17	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
20	12, 19	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21	5, 20	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
22	1, 21	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  ∅c0 4296  {csn 4589   × cxp 5636  ran crn 5639  1_oc1o 8427   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-suc 6338  df-1o 8434  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  djuinf  10142  pwdjudom  10168