Theorem djuexb 9828

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 9820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 7696	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0nep0 5296	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ {∅}
7	6	necomi 2987	. . . . 5 ⊢ {∅} ≠ ∅
8		rnexg 7848	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
9		rnxp 6130	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
10	9	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (ran ({∅} × 𝐴) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
13		1oex 8410	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	13	snnz 4721	. . . . 5 ⊢ {1o} ≠ ∅
15		rnexg 7848	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
16		rnxp 6130	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
17	16	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (ran ({1o} × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
18	15, 17	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
20	12, 19	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21	5, 20	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
22	1, 21	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  {csn 4568   × cxp 5624  ran crn 5627  1_oc1o 8393   ⊔ cdju 9817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-suc 6325  df-1o 8400  df-dju 9820

This theorem is referenced by:  djuinf  10106  pwdjudom  10132