Theorem djuexb 9947

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9946	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 9939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 7747	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0nep0 5319	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ {∅}
7	6	necomi 3009	. . . . 5 ⊢ {∅} ≠ ∅
8		rnexg 7898	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
9		rnxp 6158	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
10	9	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (ran ({∅} × 𝐴) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
13		1oex 8465	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	13	snnz 4737	. . . . 5 ⊢ {1o} ≠ ∅
15		rnexg 7898	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
16		rnxp 6158	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
17	16	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (ran ({1o} × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
18	15, 17	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
20	12, 19	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21	5, 20	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
22	1, 21	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5646  ran crn 5649  1_oc1o 8448   ⊔ cdju 9936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-dm 5658  df-rn 5659  df-suc 6358  df-1o 8455  df-dju 9939

This theorem is used by:  djuinf  10224  pwdjudom  10250