Theorem djuexb 9338

Description: The disjoint union of two classes is a set iff both classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djuexb	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem djuexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		df-dju 9330	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
3	2	eleq1i 2903	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
4		unexb 7471	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ∈ V)
5	3, 4	bitr4i 280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V ↔ (({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V))
6		0nep0 5258	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≠ {∅}
7	6	necomi 3070	. . . . 5 ⊢ {∅} ≠ ∅
8		rnexg 7614	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ran ({∅} × 𝐴) ∈ V)
9		rnxp 6027	. . . . . . 7 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → ran ({∅} × 𝐴) = 𝐴)
10	9	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (ran ({∅} × 𝐴) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	syl5ib 246	. . . . 5 ⊢ ({∅} ≠ ∅ → (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
12	7, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → 𝐴 ∈ V)
13		1oex 8110	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	13	snnz 4711	. . . . 5 ⊢ {1o} ≠ ∅
15		rnexg 7614	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → ran ({1o} × 𝐵) ∈ V)
16		rnxp 6027	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → ran ({1o} × 𝐵) = 𝐵)
17	16	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (ran ({1o} × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
18	15, 17	syl5ib 246	. . . . 5 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V)
20	12, 19	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∈ V ∧ ({1o} × 𝐵) ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
21	5, 20	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
22	1, 21	impbii 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∪ cun 3934  ∅c0 4291  {csn 4567   × cxp 5553  ran crn 5556  1_oc1o 8095   ⊔ cdju 9327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-1o 8102  df-dju 9330

This theorem is referenced by:  djuinf  9614  pwdjudom  9638