Theorem pwdjuen 10104

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9832	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		pw2eng 9021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
4		2on 8418	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
5		mapdjuen 10103	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
7		pw2eng 9021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
8		pw2eng 9021	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
9		xpen 9078	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
11		enen2 9056	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14		entr 8953	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
15	3, 13, 14	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085   × cxp 5629  Oncon0 6323  (class class class)co 7367  2_oc2o 8399   ↑_m cmap 8773   ≈ cen 8890   ⊔ cdju 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-dju 9825

This theorem is referenced by:  pwdju1  10113  pwdjudom  10137  canthp1lem1  10575  gchxpidm  10592  gchhar  10602