MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjuen 10204
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen
StepHypRef Expression
1 djuex 9931 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 pw2eng 9102 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
4 2on 8500 . . . 4 2o ∈ On
5 mapdjuen 10203 . . . 4 ((2o ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
64, 5mp3an1 1445 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
7 pw2eng 9102 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
8 pw2eng 9102 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
9 xpen 9164 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
107, 8, 9syl2an 595 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
11 enen2 9142 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
136, 12mpbird 257 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14 entr 9026 . 2 ((𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)) ∧ (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
153, 13, 14syl2anc 583 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  Vcvv 3471  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Oncon0 6369  (class class class)co 7420  2oc2o 8480  m cmap 8844  cen 8960  cdju 9921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-dju 9924
This theorem is referenced by:  pwdju1  10213  pwdjudom  10239  canthp1lem1  10675  gchxpidm  10692  gchhar  10702
  Copyright terms: Public domain W3C validator