Theorem pwdjuen 10111

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		pw2eng 9024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
4		2on 8424	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
5		mapdjuen 10110	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
7		pw2eng 9024	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
8		pw2eng 9024	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
9		xpen 9081	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
11		enen2 9059	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14		entr 8954	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
15	3, 13, 14	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   × cxp 5629  Oncon0 6320  (class class class)co 7369  2_oc2o 8405   ↑_m cmap 8776   ≈ cen 8892   ⊔ cdju 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-dju 9830

This theorem is referenced by:  pwdju1  10120  pwdjudom  10144  canthp1lem1  10581  gchxpidm  10598  gchhar  10608