Theorem pwdjuen 10165

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		pw2eng 9071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
4		2on 8467	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
5		mapdjuen 10164	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
7		pw2eng 9071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
8		pw2eng 9071	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
9		xpen 9128	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
11		enen2 9106	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
13	6, 12	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14		entr 9003	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
15	3, 13, 14	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   × cxp 5660  Oncon0 6361  (class class class)co 7411  2_oc2o 8447   ↑_m cmap 8824   ≈ cen 8940   ⊔ cdju 9884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-dju 9887

This theorem is referenced by:  pwdju1  10174  pwdjudom  10198  canthp1lem1  10637  gchxpidm  10654  gchhar  10664