MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjuen 10075
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen
StepHypRef Expression
1 djuex 9802 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 pw2eng 8980 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
4 2on 8418 . . . 4 2o ∈ On
5 mapdjuen 10074 . . . 4 ((2o ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
64, 5mp3an1 1448 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
7 pw2eng 8980 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
8 pw2eng 8980 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
9 xpen 9042 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
107, 8, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
11 enen2 9020 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
136, 12mpbird 256 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14 entr 8904 . 2 ((𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)) ∧ (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
153, 13, 14syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3443  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5103   × cxp 5629  Oncon0 6315  (class class class)co 7351  2oc2o 8398  m cmap 8723  cen 8838  cdju 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-dju 9795
This theorem is referenced by:  pwdju1  10084  pwdjudom  10110  canthp1lem1  10546  gchxpidm  10563  gchhar  10573
  Copyright terms: Public domain W3C validator