MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjuen 10220
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen
StepHypRef Expression
1 djuex 9946 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 pw2eng 9117 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
4 2on 8519 . . . 4 2o ∈ On
5 mapdjuen 10219 . . . 4 ((2o ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
64, 5mp3an1 1447 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
7 pw2eng 9117 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
8 pw2eng 9117 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
9 xpen 9179 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
107, 8, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
11 enen2 9157 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
136, 12mpbird 257 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14 entr 9045 . 2 ((𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)) ∧ (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
153, 13, 14syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  (class class class)co 7431  2oc2o 8499  m cmap 8865  cen 8981  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  pwdju1  10229  pwdjudom  10253  canthp1lem1  10690  gchxpidm  10707  gchhar  10717
  Copyright terms: Public domain W3C validator