MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjuen 10222
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen
StepHypRef Expression
1 djuex 9948 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 pw2eng 9118 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
4 2on 8520 . . . 4 2o ∈ On
5 mapdjuen 10221 . . . 4 ((2o ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
64, 5mp3an1 1450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
7 pw2eng 9118 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
8 pw2eng 9118 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
9 xpen 9180 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
107, 8, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
11 enen2 9158 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
136, 12mpbird 257 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14 entr 9046 . 2 ((𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)) ∧ (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
153, 13, 14syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Oncon0 6384  (class class class)co 7431  2oc2o 8500  m cmap 8866  cen 8982  cdju 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-dju 9941
This theorem is referenced by:  pwdju1  10231  pwdjudom  10255  canthp1lem1  10692  gchxpidm  10709  gchhar  10719
  Copyright terms: Public domain W3C validator