Theorem pwdjuen 10073

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		pw2eng 8996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
4		2on 8398	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
5		mapdjuen 10072	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
7		pw2eng 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
8		pw2eng 8996	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
9		xpen 9053	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
11		enen2 9031	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14		entr 8928	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
15	3, 13, 14	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089   × cxp 5612  Oncon0 6306  (class class class)co 7346  2_oc2o 8379   ↑_m cmap 8750   ≈ cen 8866   ⊔ cdju 9791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-dju 9794

This theorem is referenced by:  pwdju1  10082  pwdjudom  10106  canthp1lem1  10543  gchxpidm  10560  gchhar  10570