Theorem pwdjuen 10090

Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djuex 9818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
2		pw2eng 9009	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)))
4		2on 8408	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
5		mapdjuen 10089	. . . 4 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
7		pw2eng 9009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴))
8		pw2eng 9009	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
9		xpen 9066	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≈ (2o ↑m 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)))
11		enen2 9044	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ ((2o ↑m 𝐴) × (2o ↑m 𝐵))))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14		entr 8941	. 2 ⊢ ((𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐴 ⊔ 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
15	3, 13, 14	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096   × cxp 5620  Oncon0 6315  (class class class)co 7356  2_oc2o 8389   ↑_m cmap 8761   ≈ cen 8878   ⊔ cdju 9808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-dju 9811

This theorem is referenced by:  pwdju1  10099  pwdjudom  10123  canthp1lem1  10561  gchxpidm  10578  gchhar  10588