Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdjuen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdjuen 9641
 Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwdjuen
StepHypRef Expression
1 djuex 9370 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 pw2eng 8644 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)))
4 2on 8121 . . . 4 2o ∈ On
5 mapdjuen 9640 . . . 4 ((2o ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
64, 5mp3an1 1445 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
7 pw2eng 8644 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴))
8 pw2eng 8644 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
9 xpen 8702 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2om 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
107, 8, 9syl2an 598 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)))
11 enen2 8680 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵)) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2om (𝐴𝐵)) ≈ ((2om 𝐴) × (2om 𝐵))))
136, 12mpbird 260 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
14 entr 8579 . 2 ((𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (2om (𝐴𝐵)) ∧ (2om (𝐴𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
153, 13, 14syl2anc 587 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  𝒫 cpw 4494   class class class wbr 5032   × cxp 5522  Oncon0 6169  (class class class)co 7150  2oc2o 8106   ↑m cmap 8416   ≈ cen 8524   ⊔ cdju 9360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-dju 9363 This theorem is referenced by:  pwdju1  9650  pwdjudom  9676  canthp1lem1  10112  gchxpidm  10129  gchhar  10139
 Copyright terms: Public domain W3C validator