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Theorem dju1dif 10166
Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11465 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
dju1dif ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴𝑉)
2 1oex 8475 . . . 4 1o ∈ V
3 djuex 9902 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5 simpr 485 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6 df1o2 8472 . . . . . . . . 9 1o = {∅}
76xpeq2i 5703 . . . . . . . 8 ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8 0ex 5307 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
92, 8xpsn 7138 . . . . . . . 8 ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
107, 9eqtri 2760 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11 ssun2 4173 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1210, 11eqsstrri 4017 . . . . . 6 {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
1413snss 4789 . . . . . 6 (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
1512, 14mpbir 230 . . . . 5 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16 df-dju 9895 . . . . 5 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1715, 16eleqtrri 2832 . . . 4 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19 difsnen 9052 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
204, 5, 18, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
2116difeq1i 4118 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22 xp01disjl 8491 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23 disj3 4453 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
2422, 23mpbi 229 . . . . 5 ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25 difun2 4480 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2610difeq2i 4119 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2724, 25, 263eqtr2i 2766 . . . 4 ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2821, 27eqtr4i 2763 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29 xpsnen2g 9064 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
308, 1, 29sylancr 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3128, 30eqbrtrid 5183 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32 entr 9001 . 2 ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
3320, 31, 32syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674  1oc1o 8458  cen 8935  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  canthp1  10648
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