Theorem dju1dif 10256

Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11568 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dju1dif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		1oex 8491	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3		djuex 9994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6		df1o2 8488	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 5677	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8		0ex 5260	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
9	2, 8	xpsn 7144	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
10	7, 9	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11		ssun2 4176	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eqsstrri 3956	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13		opex 5431	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
14	13	snss 4741	. . . . . 6 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
15	12, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16		df-dju 9987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
17	15, 16	eleqtrri 2859	. . . 4 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19		difsnen 9083	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
20	4, 5, 18, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
21	16	difeq1i 4058	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22		xp01disjl 8505	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23		disj3 4406	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
24	22, 23	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25		difun2 4436	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
26	10	difeq2i 4059	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2789	. . . 4 ⊢ ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
28	21, 27	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29		xpsnen2g 9094	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	8, 1, 29	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31	28, 30	eqbrtrid 5139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32		entr 9038	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
33	20, 31, 32	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648  1_oc1o 8474   ≈ cen 8975   ⊔ cdju 9984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dju 9987

This theorem is used by:  canthp1  10744