Theorem dju1dif 10075

Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11377 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dju1dif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		1oex 8404	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3		djuex 9812	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6		df1o2 8401	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 5648	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8		0ex 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
9	2, 8	xpsn 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
10	7, 9	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11		ssun2 4128	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eqsstrri 3978	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13		opex 5409	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
14	13	snss 4738	. . . . . 6 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
15	12, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16		df-dju 9805	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
17	15, 16	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19		difsnen 8983	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
20	4, 5, 18, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
21	16	difeq1i 4071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22		xp01disjl 8416	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23		disj3 4403	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
24	22, 23	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25		difun2 4430	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
26	10	difeq2i 4072	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2762	. . . 4 ⊢ ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
28	21, 27	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29		xpsnen2g 8994	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	8, 1, 29	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31	28, 30	eqbrtrid 5130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32		entr 8939	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
33	20, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4577  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   × cxp 5619  1_oc1o 8387   ≈ cen 8876   ⊔ cdju 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dju 9805

This theorem is referenced by:  canthp1  10556