Theorem dju1dif 10168

Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11474 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dju1dif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		1oex 8465	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3		djuex 9906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6		df1o2 8462	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 5690	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8		0ex 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
9	2, 8	xpsn 7141	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
10	7, 9	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11		ssun2 4132	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eqsstrri 3985	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13		opex 5447	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
14	13	snss 4752	. . . . . 6 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
15	12, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16		df-dju 9899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
17	15, 16	eleqtrri 2864	. . . 4 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19		difsnen 9050	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
20	4, 5, 18, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
21	16	difeq1i 4077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22		xp01disjl 8479	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23		disj3 4414	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
24	22, 23	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25		difun2 4444	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
26	10	difeq2i 4078	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2794	. . . 4 ⊢ ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
28	21, 27	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29		xpsnen2g 9061	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	8, 1, 29	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31	28, 30	eqbrtrid 5148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32		entr 9005	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
33	20, 31, 32	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661  1_oc1o 8448   ≈ cen 8942   ⊔ cdju 9896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dju 9899

This theorem is used by:  canthp1  10650