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Theorem dju1dif 10169
Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11470 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
dju1dif ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴𝑉)
2 1oex 8478 . . . 4 1o ∈ V
3 djuex 9905 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
41, 2, 3sylancl 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5 simpr 483 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6 df1o2 8475 . . . . . . . . 9 1o = {∅}
76xpeq2i 5702 . . . . . . . 8 ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8 0ex 5306 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
92, 8xpsn 7140 . . . . . . . 8 ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
107, 9eqtri 2758 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11 ssun2 4172 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1210, 11eqsstrri 4016 . . . . . 6 {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13 opex 5463 . . . . . . 7 ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
1413snss 4788 . . . . . 6 (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
1512, 14mpbir 230 . . . . 5 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16 df-dju 9898 . . . . 5 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1715, 16eleqtrri 2830 . . . 4 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19 difsnen 9055 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
204, 5, 18, 19syl3anc 1369 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
2116difeq1i 4117 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22 xp01disjl 8494 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23 disj3 4452 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
2422, 23mpbi 229 . . . . 5 ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25 difun2 4479 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2610difeq2i 4118 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2724, 25, 263eqtr2i 2764 . . . 4 ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2821, 27eqtr4i 2761 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29 xpsnen2g 9067 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
308, 1, 29sylancr 585 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3128, 30eqbrtrid 5182 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32 entr 9004 . 2 ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
3320, 31, 32syl2anc 582 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  {csn 4627  cop 4633   class class class wbr 5147   × cxp 5673  1oc1o 8461  cen 8938  cdju 9895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dju 9898
This theorem is referenced by:  canthp1  10651
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