Theorem dju1dif 10242

Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11542 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dju1dif	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		1oex 8532	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3		djuex 9977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6		df1o2 8529	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 5727	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8		0ex 5325	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
9	2, 8	xpsn 7175	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
10	7, 9	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11		ssun2 4202	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eqsstrri 4044	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
14	13	snss 4810	. . . . . 6 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
15	12, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16		df-dju 9970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
17	15, 16	eleqtrri 2843	. . . 4 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19		difsnen 9119	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
20	4, 5, 18, 19	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
21	16	difeq1i 4145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22		xp01disjl 8548	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23		disj3 4477	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
24	22, 23	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25		difun2 4504	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
26	10	difeq2i 4146	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2774	. . . 4 ⊢ ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
28	21, 27	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29		xpsnen2g 9131	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
30	8, 1, 29	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
31	28, 30	eqbrtrid 5201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32		entr 9066	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
33	20, 31, 32	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   × cxp 5698  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000   ⊔ cdju 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dju 9970

This theorem is referenced by:  canthp1  10723