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Theorem dju1dif 10211
Description: Adding and subtracting one gives back the original cardinality. Similar to pncan 11512 for cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
dju1dif ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju1dif
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐴𝑉)
2 1oex 8515 . . . 4 1o ∈ V
3 djuex 9946 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1o ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
41, 2, 3sylancl 586 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5 simpr 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
6 df1o2 8512 . . . . . . . . 9 1o = {∅}
76xpeq2i 5716 . . . . . . . 8 ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
8 0ex 5313 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
92, 8xpsn 7161 . . . . . . . 8 ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
107, 9eqtri 2763 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) = {⟨1o, ∅⟩}
11 ssun2 4189 . . . . . . 7 ({1o} × 1o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1210, 11eqsstrri 4031 . . . . . 6 {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
13 opex 5475 . . . . . . 7 ⟨1o, ∅⟩ ∈ V
1413snss 4790 . . . . . 6 (⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ {⟨1o, ∅⟩} ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
1512, 14mpbir 231 . . . . 5 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
16 df-dju 9939 . . . . 5 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1715, 16eleqtrri 2838 . . . 4 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
19 difsnen 9092 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
204, 5, 18, 19syl3anc 1370 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}))
2116difeq1i 4132 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
22 xp01disjl 8529 . . . . . 6 (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
23 disj3 4460 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
2422, 23mpbi 230 . . . . 5 ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
25 difun2 4487 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2610difeq2i 4133 . . . . 5 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2724, 25, 263eqtr2i 2769 . . . 4 ({∅} × 𝐴) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ {⟨1o, ∅⟩})
2821, 27eqtr4i 2766 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
29 xpsnen2g 9104 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
308, 1, 29sylancr 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3128, 30eqbrtrid 5183 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴)
32 entr 9045 . 2 ((((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ∧ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
3320, 31, 32syl2anc 584 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {𝐵}) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  1oc1o 8498  cen 8981  cdju 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dju 9939
This theorem is referenced by:  canthp1  10692
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