Theorem dmmptif 43035

Description: Domain of the mapping operation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptif.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
dmmptif.2	⊢ 𝐵 ∈ V
dmmptif.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmptif	⊢ dom 𝐹 = 𝐴

Proof of Theorem dmmptif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptif.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		dmmptif.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		dmmptif.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	1, 2, 3	fnmptif 43034	. 2 ⊢ 𝐹 Fn 𝐴
5		fndm 6567	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ dom 𝐹 = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Ⅎwnfc 2884  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5164  dom cdm 5600   Fn wfn 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-fun 6460  df-fn 6461

This theorem is referenced by:  adddmmbl2  44602  muldmmbl2  44604  smfdivdmmbl2  44609